Uma função
é dita lipschitziana se dados
existe uma constante
positiva tal que
Prove que
é lipschitziana.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é lipschitziana, ou seja, que existe
tal que para todo
vale
O conteúdo que usaremos é o Teorema do Valor Médio, que relaciona diferença de valores de uma função com sua derivada.
Passo 2
Calculemos a derivada de
. Temos
Como
está sempre entre
e
, obtemos para todo
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Tomando valor absoluto,
Passo 4
Da desigualdade acima segue que podemos escolher
e então
para todo
. Isso mostra que
é lipschitziana.
Resposta
A função
é lipschitziana em
com constante de Lipschitz
.