Uma função f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é dita lipschitziana se dados x, y \in[0,1] existe uma constante \kappa positiva tal que
|f(x)-f(y)| \leq \kappa|x-y|
Prove que f(x)=\cos x é lipschitziana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\cos x
é lipschitziana, ou seja, que existe \kappa>0 tal que para todo x,y\in[0,1] vale
|f(x)-f(y)|\le\kappa\,|x-y|.
O conteúdo que usaremos é o Teorema do Valor Médio, que relaciona diferença de valores de uma função com sua derivada.

Passo 2

Calculemos a derivada de f. Temos
f'(x) = -\sin x.
Como \sin x está sempre entre -1 e 1, obtemos para todo x\in[0,1]
|f'(x)| = |\sin x|\le1.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\in[0,1] existe c entre x e y tal que
f(x)-f(y) = f'\text{(c)}\,(x-y).
Tomando valor absoluto,
|f(x)-f(y)| = |f'\text{(c)}|\,|x-y|\le1\cdot|x-y|.

Passo 4

Da desigualdade acima segue que podemos escolher \kappa=1 e então
|f(x)-f(y)|\le1\cdot|x-y|
para todo x,y\in[0,1]. Isso mostra que f é lipschitziana.

Resposta

A função \cos x é lipschitziana em [0,1] com constante de Lipschitz \kappa=1.

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