Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: f(x y)= f(x)+f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}.
Se f for contínua, então f(x)=c \log x, onde c é constante.

Passo 1

O enunciado diz que f:(0,\infty)\to\mathbb{R} é contínua, não identicamente nula, e satisfaz
f(xy)=f(x)+f(y)\quad\forall x,y>0.
Estamos diante da equação de Cauchy multiplicativa. Para resolver, vamos usar propriedades de homomorfismo de grupos (positivos em multiplicação para reais em adição) e o fato de que a continuidade força a solução a ser da forma c\ln x.

Passo 2

Mostramos inicialmente que f(1)=0. Basta tomar x=y=1 em
f(1\cdot1)=f(1)+f(1),
o que dá f(1)=2f(1). Logo
f(1)=0.

Passo 3

A partir de f(1)=0 segue que para x>0
f\bigl(x\cdot x^{-1}\bigr)=f(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x)+f(x^{-1})=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x^{-1})=-f(x).
Isto mostra a consistência com inversos no grupo multiplicativo.

Passo 4

Definimos a função auxiliar g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(t)=f\bigl(e^t\bigr).
Então, para quaisquer s,t\in\mathbb{R},
g(s+t)=f\bigl(e^{s+t}\bigr)=f\bigl(e^s\cdot e^t\bigr) =f(e^s)+f(e^t)=g(s)+g(t).
Além disso, g é contínua pois compõe f com a função contínua t\mapsto e^t. A equação
g(s+t)=g(s)+g(t)
com continuidade implica a solução padrão da equação de Cauchy aditiva:
g(t)=c\,t
para alguma constante c.

Passo 5

Voltando a f, para x>0 escrevemos x=e^{\ln x} e obtemos
f(x)=f\bigl(e^{\ln x}\bigr)=g(\ln x)=c\,\ln x.
Como \ln x e \log x diferem apenas por constante de base, podemos escrever de modo geral
f(x)=C\,\log x,
onde C é constante (por exemplo C=c se \log=\ln).

Resposta

f(x)=C\,\log x, onde C é constante.

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