Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
Se
for contínua, então
, onde
é constante.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua, não identicamente nula, e satisfaz
Estamos diante da equação de Cauchy multiplicativa. Para resolver, vamos usar propriedades de homomorfismo de grupos (positivos em multiplicação para reais em adição) e o fato de que a continuidade força a solução a ser da forma
.
Passo 2
Mostramos inicialmente que
. Basta tomar
em
o que dá
. Logo
Passo 3
A partir de
segue que para
Isto mostra a consistência com inversos no grupo multiplicativo.
Passo 4
Definimos a função auxiliar
por
Então, para quaisquer
,
Além disso,
é contínua pois compõe
com a função contínua
. A equação
com continuidade implica a solução padrão da equação de Cauchy aditiva:
para alguma constante
.
Passo 5
Voltando a
, para
escrevemos
e obtemos
Como
e
diferem apenas por constante de base, podemos escrever de modo geral
onde
é constante (por exemplo
se
).