Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: f(x y)= f(x)+f(y) \forall x, y \in \mathbb{R}.
Se f for diferenciável, então f(x)=c \log x, onde c é constante.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável que satisfaz
f(xy)=f(x)+f(y)\quad\forall x,y>0
e diz que f não é identicamente nula. O objetivo é provar que existe constante c tal que
f(x)=c\ln x.
Vamos usar diferenciação e depois integração para encontrar f.

Passo 2

Primeiro note que, tomados x=y=1, a relação fica
f(1\cdot1)=f(1)+f(1)\quad\Longrightarrow\quad f(1)=2f(1)\quad\Longrightarrow\quad f(1)=0.

Passo 3

Agora veja a equação funcional
f(xy)=f(x)+f(y).
Como f é diferenciável, podemos derivar ambos os lados em relação a x, tratando y como constante. Isso dá
\frac{d}{dx}f(xy)=\frac{d}{dx}\bigl[f(x)+f(y)\bigr] \;\Longrightarrow\; f'(xy)\,y = f'(x).

Passo 4

No passo anterior obtivemos
f'(xy)\,y = f'(x).
Agora especialize em x=1. Então xy=y e ficamos com
f'(y)\,y = f'(1).
Como f'(1) é constante, defina c = f'(1). Assim
f'(y)=\frac{c}{y}.

Passo 5

Para encontrar f, integramos a expressão de f':
f(x)=\int f'(x)\,dx = \int \frac{c}{x}\,dx = c\ln x + K,
onde K é constante de integração. Como já vimos que f(1)=0, impondo x=1 temos
0=f(1)=c\ln1 + K = 0 + K\quad\Longrightarrow\quad K=0.

Resposta

f(x)=c\ln x,\quad c=f'(1).

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