Seja
uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação:
.
Se
for diferenciável, então
, onde
é constante.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável que satisfaz
e diz que
não é identicamente nula. O objetivo é provar que existe constante
tal que
Vamos usar diferenciação e depois integração para encontrar
.
Passo 2
Primeiro note que, tomados
, a relação fica
Passo 3
Agora veja a equação funcional
Como
é diferenciável, podemos derivar ambos os lados em relação a
, tratando
como constante. Isso dá
Passo 4
No passo anterior obtivemos
Agora especialize em
. Então
e ficamos com
Como
é constante, defina
. Assim
Passo 5
Para encontrar
, integramos a expressão de
:
onde
é constante de integração. Como já vimos que
, impondo
temos