Um sistema oscilatório massa-mola possui uma energia mecánica de 2,00 \mathrm{~J}, uma amplitude de 10 cm , e uma velocidade de 1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. ( 5,0 pontos) Determine:
a) A constante elástica da mola; b) A massa do bloco; c) A frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola com energia mecânica total E=2{,}00\text{ J}, amplitude A=0{,}10\text{ m} e velocidade máxima v_{\max}=1{,}20\text{ m/s}. Vamos usar a conservação de energia no movimento harmônico simples, em que
E = \frac12\,k\,A^2
e a relação entre velocidade máxima e frequência angular:
v_{\max}=A\,\omega,\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad f=\frac{\omega}{2\pi}.

Passo 2

Para encontrar a constante elástica k aplicamos
E = \tfrac12\,k\,A^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2E}{A^2}.
Substituindo E=2{,}00 J e A=0{,}10 m,
k = \frac{2\cdot 2{,}00}{(0{,}10)^2} = 400\text{ N/m}.

Passo 3

A velocidade fornecida é a máxima no ponto de equilíbrio, então
v_{\max}=A\,\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{k\,A^2}{v_{\max}^2}.
Com k=400\text{ N/m}, A=0{,}10 m e v_{\max}=1{,}20 m/s,
m = \frac{400\cdot(0{,}10)^2}{(1{,}20)^2}\approx2{,}78\text{ kg}.

Passo 4

A frequência de oscilação é
f = \frac{\omega}{2\pi} \quad\text{com}\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{400}{2{,}78}}\approx12{,}0\text{ rad/s},
portanto
f = \frac{12{,}0}{2\pi}\approx1{,}91\text{ Hz}.

Resposta

a) k = 400\text{ N/m}
b) m \approx 2{,}78\text{ kg}
c) f \approx 1{,}91\text{ Hz}

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