Questão 1 (2,5 pontos) Sabendo que todas as somas S_{n} abaixo representam somas de Riemann. detérmine o valor do limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} como uma integral definida. Para cada)n , o conjunto\left{x_{0}, x_{1}, ···, x_{n}}) constitu una partição de um intervalo a, b]\), com espaçamento uniforme \(\Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}\)\). e \(x_{i}^{*}\) é um ponto arbitrário no subintervalo \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\)\), salvo quando indicado de outra forma. (b) \(S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}\right)^{2} \Delta x\)

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}\biggr)^{2}\Delta x
em que \{x_{0},x_{1},\dots,x_{n}\} é uma partição uniforme de [a,b] com \Delta x=(b-a)/n. O conteúdo é reconhecer essa soma como aproximação de uma integral definida.

Passo 2

Note que \frac{x_{i}+x_{i-1}}{2} é o ponto médio m_{i} do subintervalo [x_{i-1},x_{i}]. Logo cada termo da soma é f(m_{i})\Delta x com
f(x)=x^{2}.

Passo 3

Pelo conceito de soma de Riemann usando pontos médios, temos
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(m_{i})\,\Delta x =\int_{a}^{b}f(x)\,dx =\int_{a}^{b}x^{2}\,dx.

Passo 4

Só resta calcular a integral
\int_{a}^{b}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b} =\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}S_{n} =\int_{a}^{b}x^{2}\,dx =\frac{b^{3}-a^{3}}{3}.

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