Questão 1 (2,5 pontos) Sabendo que todas as somas S_{n} abaixo representam somas de Riemann. detérmine o valor do limite \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} como uma integral definida. Para cada)n , o conjunto\left{x_{0}, x_{1}, ···, x_{n}}) constitu una partição de um intervalo a, b]\), com espaçamento uniforme \(\Delta x=x_{i}-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}\)\). e \(x_{i}^{*}\) é um ponto arbitrário no subintervalo \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\)\), salvo quando indicado de outra forma. (d) \(\quad S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}+\left(x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}\right)^{2}}\)

Passo 1

O enunciado dá a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\bigl(x_{i}-x_{i-1}\bigr)^{2}+\bigl(x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}\bigr)^{2}}
sobre a partição uniforme de [a,b]. Reconhecemos que isso é a soma de comprimentos de pequenos segmentos que aproximam a curva y=x^{2} de x=a até x=b. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco via integral definida.

Passo 2

Chamando \Delta x = x_{i}-x_{i-1} e \Delta y = x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}, reescrevemos cada termo como
\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} =\sqrt{1+\Bigl(\frac{\Delta y}{\Delta x}\Bigr)^{2}}\;\Delta x.
Mas
\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}}{x_{i}-x_{i-1}} =x_{i}+x_{i-1}.

Passo 3

Quando n\to\infty, temos \Delta x\to0 e x_{i},x_{i-1}\to x em cada subintervalo. Logo
x_{i}+x_{i-1}\;\longrightarrow\;2x,
e a soma S_{n} converge para a integral de comprimento de arco
\int_{a}^{b}\sqrt{1+(2x)^{2}}\;dx =\int_{a}^{b}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.

Resposta

\lim_{n\to\infty}S_{n} =\int_{a}^{b}\sqrt{1+4x^{2}}\;dx.

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