Seja
a função dada por
. Calcule os valores máximo e mínimo de
.
Máximo:
Máximo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x) = 2 \sin x + \cos(2x) $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a ideia de derivadas para identificar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a determinar o comportamento da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada $ f’(x) $.
A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $ e a derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2 \sin(2x) $ (usando a regra da cadeia).
Portanto:
Passo 3
Agora, para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $ x $:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados da equação por 2:
Lembrando que $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, substituímos na equação:
Fatorando $ \cos x $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ \cos x = 0 $
- $ 1 - 2 \sin x = 0 $
Passo 4
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: $ \cos x = 0 $
Os valores de $ x $ que satisfazem essa equação são:
Caso 2: $ 1 - 2 \sin x = 0 $
Os valores de $ x $ que satisfazem essa equação são:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos encontrados para determinar os valores máximo e mínimo.
Vamos considerar os pontos dentro do intervalo $ [0, 2\pi] $ para facilitar a análise.
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
Para $ x = \frac{5\pi}{6} $:
Passo 6
Analisando os valores calculados:
- Em $ x = \frac{\pi}{2} $, $ f(x) = 1 $
- Em $ x = \frac{\pi}{6} $, $ f(x) = \frac{3}{2} $
- Em $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ f(x) = \frac{3}{2} $
O maior valor obtido é $ \frac{3}{2} $ e o menor é $ 1 $.
Resposta
O valor máximo de $ f $ é $ \frac{3}{2} $ e o valor mínimo é $ 1 $.