Seja f: R R a função dada por f(x)=2 sen x+cos (2 x). Calcule os valores máximo e mínimo de f.
Máximo:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função $ f(x) = 2 \sin x + \cos(2x) $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a ideia de derivadas para identificar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a determinar o comportamento da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função dada é:
f(x)
Vamos calcular a derivada $ f’(x) $.
A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $ e a derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2 \sin(2x) $ (usando a regra da cadeia).
Portanto:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para $ x $:
x
f'(x) = 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados da equação por 2:
2 cos x - 2 sin(2x) = 0
Lembrando que $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, substituímos na equação:
cos x - sin(2x) = 0
Fatorando $ \cos x $:
sin(2x) = 2 sin x cos x
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ \cos x = 0 $
  2. $ 1 - 2 \sin x = 0 $

Passo 4

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: $ \cos x = 0 $
cos x = 0
Os valores de $ x $ que satisfazem essa equação são:
cos x = 0
Caso 2: $ 1 - 2 \sin x = 0 $
x
x = pi2 + kpi onde k in Z
1 - 2 sin x = 0
Os valores de $ x $ que satisfazem essa equação são:
1 - 2 sin x = 0

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos encontrados para determinar os valores máximo e mínimo.
Vamos considerar os pontos dentro do intervalo $ [0, 2\pi] $ para facilitar a análise.
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
f(x)
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
[0, 2pi]
Para $ x = \frac{5\pi}{6} $:
x = pi2

Passo 6

Analisando os valores calculados:
  • Em $ x = \frac{\pi}{2} $, $ f(x) = 1 $
  • Em $ x = \frac{\pi}{6} $, $ f(x) = \frac{3}{2} $
  • Em $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ f(x) = \frac{3}{2} $
O maior valor obtido é $ \frac{3}{2} $ e o menor é $ 1 $.

Resposta

O valor máximo de $ f $ é $ \frac{3}{2} $ e o valor mínimo é $ 1 $.

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