Sejam a \in \mathbb{R} e f(x)=\frac{1}{x^{2}+3}, calcule:
f(\sqrt{a})

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma constante a\in\mathbb{R}.
  • A função f definida por f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3}.
    A pergunta é: calcular f(\sqrt{a}).
    Observação importante: o símbolo \sqrt{a} refere-se, aqui, à raiz quadrada real principal de a, que só está definida como número real quando a\ge 0. Vou levar isso em conta.

Passo 2

Entendendo \sqrt{a} (lembrete didático): por definição, quando a\ge 0 a expressão \sqrt{a} é o número real não negativo cuja segunda potência é a. Ou seja, se y=\sqrt{a} então y\ge 0 e y^{2}=a. Se a<0, \sqrt{a} não é um número real (entra-se no campo dos números complexos), portanto f(\sqrt{a}) não estaria definido como valor real.

Passo 3

Substituição direta na definição de f: por definição de f,
f(\sqrt{a})=\frac{1}{\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}+3}.
Aqui apenas troquei a variável x por \sqrt{a} na expressão de f(x).

Passo 4

Simplificar \bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}: quando a\ge 0 vale a identidade
\bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}=a,
porque a raiz quadrada real é justamente um número cuja quadrado é a. (Ex.: se a=4 então \sqrt{4}=2 e 2^{2}=4.)

Passo 5

Substituindo o resultado do passo anterior na expressão de f(\sqrt{a}) obtemos, para a\ge 0,
f(\sqrt{a})=\frac{1}{a+3}.
Verificação rápida com exemplos: se a=4 então \sqrt{a}=2 e f(2)=\dfrac{1}{2^{2}+3}=\dfrac{1}{7}. Se a=0 então f(\sqrt{0})=f(0)=\dfrac{1}{0+3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Discussão sobre domínio: como já observado, \sqrt{a} só é real se a\ge 0. Logo a expressão f(\sqrt{a}) está definida como número real somente para a\ge 0. Para a<0 não se pode calcular f(\sqrt{a}) no conjunto dos reais porque \sqrt{a} não é real. Note também que, para a\ge 0, o denominador a+3 é sempre positivo (pois a+3\ge 3>0), então não há divisão por zero nem problema de indefinição nessa forma.

Resposta

f(\sqrt{a})=\dfrac{1}{a+3} para a\ge 0. Se a<0, \sqrt{a} não é real e f(\sqrt{a}) não está definido em \mathbb{R}.

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