Sejam
e
, calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma constante
. - A função
definida por .
A pergunta é: calcular.
Observação importante: o símbolorefere-se, aqui, à raiz quadrada real principal de , que só está definida como número real quando . Vou levar isso em conta.
Passo 2
Entendendo
(lembrete didático): por definição, quando
a expressão
é o número real não negativo cuja segunda potência é
. Ou seja, se
então
e
. Se
,
não é um número real (entra-se no campo dos números complexos), portanto
não estaria definido como valor real.
Passo 3
Substituição direta na definição de
: por definição de
,
Aqui apenas troquei a variável
por
na expressão de
.
Passo 4
Simplificar
: quando
vale a identidade
porque a raiz quadrada real é justamente um número cuja quadrado é
. (Ex.: se
então
e
.)
Passo 5
Substituindo o resultado do passo anterior na expressão de
obtemos, para
,
Verificação rápida com exemplos: se
então
e
. Se
então
.
Passo 6
Discussão sobre domínio: como já observado,
só é real se
. Logo a expressão
está definida como número real somente para
. Para
não se pode calcular
no conjunto dos reais porque
não é real. Note também que, para
, o denominador
é sempre positivo (pois
), então não há divisão por zero nem problema de indefinição nessa forma.