Se f(x)=ax+b é uma função afim com a neq 0, mostre que existe uma função afim g(x)=alpha x+beta tal que f(g(x))=x.
Mostre também que, para essas funções, vale f(g(x))=g(f(x)).

Passo 1

O enunciado considera a função afim
f(x)=a x + b, aneq 0
e pede para mostrar que existe outra função afim
g(x)=alpha x+beta
tal que
fl(g(x)r)=x
e que, para essas duas, vale também
fl(g(x)r)=gl(f(x)r)
O conteúdo usado será a noção de função inversa e composição de funções afins.

Passo 2

Suponha
g(x)=alpha x+beta
Para impor fl(g(x)r)=x, calculemos
fl(g(x)r) = a,g(x) + b = a(alpha x + beta) + b = aalpha,x + (abeta + b)
Queremos que isso seja igual a x para todo x, ou seja
aalpha,x + (abeta + b) = 1cdot x + 0
Comparando coeficientes, obtemos
aalpha = 1 Longrightarrow alpha = 1a,
abeta + b = 0 Longrightarrow beta = -ba

Passo 3

Logo a função candidata é
g(x) = 1a,x ;-;ba
Verifiquemos imediatamente que
fl(g(x)r) = al(1ax - bar) + b = x - b + b = x

Passo 4

Agora calculemos a composição inversa
gl(f(x)r) = 1al(a x + br) - ba = x + ba - ba = x

Passo 5

Como ambas as composições dão x, concluímos
fl(g(x)r)=x e gl(f(x)r)=x,
o que implica
fl(g(x)r)=gl(f(x)r)

Resposta

A função procurada é
g(x)=1a,x - ba,
e para ela vale
fl(g(x)r)=x e gl(f(x)r)=x,
logo f(g(x))=g(f(x)).

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