Sejam x, y in R tais que x=y e considere a seguinte sequência de passos
x^2 & =y x x^2-y^2 & =y x-y^2 (x-y)(x+y) & =y(x-y) x+y & =y 2 y & =y 2 & =1
Uma vez que 2 neq 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa passagem e explique qual foi o erro cometido.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Estamos lidando com álgebra, especificamente com manipulações de equações envolvendo variáveis reais x e y , onde sabemos que x = y . A sequência de passos apresentada leva a uma conclusão falsa, 2 = 1 , por isso precisamos identificar onde ocorreu o erro nessa sequência. Para resolver isso, vamos analisar cada passo cuidadosamente e entender a teoria por trás de cada manipulação.

Passo 2

Começamos com a igualdade dada:
x = y
Isso significa que qualquer expressão envolvendo x pode ser substituída por y , e vice-versa.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x :
x times x = y times x implies x^2 = yx
Aqui, estamos apenas multiplicando ambos os lados da igualdade original por x , o que é uma operação válida.

Passo 4

Subtraímos y^2 de ambos os lados:
x^2 - y^2 = yx - y^2
Novamente, estamos realizando uma operação válida: subtrair o mesmo valor de ambos os lados da equação.

Passo 5

Fatoramos os termos:
(x - y)(x + y) = y(x - y)
Neste passo, aplicamos a fatoração da diferença de quadrados no lado esquerdo e fatoramos y no lado direito.

Passo 6

Agora, tentamos “cancelar” (x - y) de ambos os lados:
x + y = y
Aqui está onde ocorre o problema. Como sabemos que x = y , isso implica que x - y = 0 . Portanto, estamos essencialmente dividindo ambos os lados por zero, o que é uma operação indefinida e inválida na matemática.

Passo 7

Continuando com o erro, substituímos x = y na equação:
2y = y implies 2 = 1
Obviamente, isso leva a uma contradição, já que sabemos que 2 neq 1 .

Resposta

O erro ocorre no Passo 6 ao cancelar (x - y) , pois x = y implica que x - y = 0 . Dividir por zero é uma operação indefinida, tornando esse passo inválido.

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