Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos .
sumn=1^infty n+2n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^inftyn+2n(n+1)
usando o teste da razão ou o teste da raiz. Esses testes dão limite igual a 1, tornando-se inconclusivos, então depois iremos usar frações parciais (série telescópica) para concluir.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos
an = n+2n(n+1)
Então
an+1an = n+3(n+1)(n+2)n+2n(n+1) = n+3(n+1)(n+2)cdotn(n+1)n+2 = n(n+3)(n+2)^2
Como
limntoinftyn(n+3)(n+2)^2=1,
o teste da razão é inconclusivo.

Passo 3

No teste da raiz, calculamos
raiz[n]an = raiz[n]n+2n(n+1) = raiz[n]n+2raiz[n]n(n+1)
Mas
limntoinftyraiz[n]n+2=1, limntoinftyraiz[n]n(n+1)=1,
logo
limntoinftyraiz[n]an=1,
e o teste da raiz também falha.

Passo 4

Para decidir, fazemos frações parciais: buscamos A,B tais que
n+2n(n+1)=An+Bn+1
Multiplicando por n(n+1) vem
n+2 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A,
logo A=2 e A+B=1 B=-1. Assim
n+2n(n+1) = 2n - 1n+1
A soma parcial até N é
SN = sumn=1^N l(2n-1n+1r) =2sumn=1^N1n - sumn=1^N1n+1 =HN + 1 - 1N+1,
onde HN é o N-ésimo número harmónico. Como limNtoinftyHN=infty, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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