Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos .
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
usando o teste da razão ou o teste da raiz. Esses testes dão limite igual a 1, tornando-se inconclusivos, então depois iremos usar frações parciais (série telescópica) para concluir.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, definimos
Então
Como
o teste da razão é inconclusivo.
Passo 3
No teste da raiz, calculamos
Mas
logo
e o teste da raiz também falha.
Passo 4
Para decidir, fazemos frações parciais: buscamos
tais que
Multiplicando por
vem
logo
e
dá
. Assim
A soma parcial até
é
onde
é o
-ésimo número harmónico. Como
, a série diverge.
Resposta
A série diverge.