Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos .
sumk=0^infty 2^kk !

Passo 1

A questão pede para determinar a convergência da série sumk=0^infty 2^kk! usando os testes da razão ou da raiz. O conteúdo envolve séries de termos positivos e os critérios de convergência desses testes.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos ak = 2^kk! e calculamos
L = limk to infty ak+1ak = limk to infty 2^k+1/(k+1)!2^k/k! = limk to infty 2k+1 = 0
Como L < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da raiz. Calculamos
R = limk to infty l(akr)^1/k = limk to infty 2(k!)^1/k
Sabendo que (k!)^1/k to infty (por aproximações de Stirling ou desigualdade (k/e) <= (k!)^1/k <= k), segue que R = 0 < 1. Pelo teste da raiz também a série converge.

Passo 4

Ambos os testes (razão e raiz) mostram que o limite é menor que 1, logo a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) pelo teste da razão ou pelo teste da raiz, pois em ambos os casos o limite encontrado é zero (<1).

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