Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos .
Passo 1
A questão pede para determinar a convergência da série
usando os testes da razão ou da raiz. O conteúdo envolve séries de termos positivos e os critérios de convergência desses testes.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos
e calculamos
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Passo 3
Para reforçar, aplicamos o teste da raiz. Calculamos
Sabendo que
(por aproximações de Stirling ou desigualdade
), segue que
. Pelo teste da raiz também a série converge.
Passo 4
Ambos os testes (razão e raiz) mostram que o limite é menor que 1, logo a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge (convergência absoluta) pelo teste da razão ou pelo teste da raiz, pois em ambos os casos o limite encontrado é zero (<1).