Para a função e^cos (x):
b)Encontre os valores de máximo e mínimo locais;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^cos(x),
que é periódica de período 2pi. Queremos encontrar os extremos locais de f. Para isso, vamos usar o teste da derivada: primeiro achamos f'(x) e os pontos onde ela se anula; depois usamos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo local.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada por regra da cadeia e produto:
f'(x)=ddxl(e^cos xr) =e^cos xcdotddx(cos x) =e^cos xcdot(-sin x) =-sin(x),e^cos(x)
Os pontos críticos são os que anulam f'(x). Como e^cos(x)>0 sempre, basta
-sin(x)=0 Longrightarrow sin(x)=0 Longrightarrow x=kpi, kinZ

Passo 3

Agora calculemos a segunda derivada para classificar cada x=kpi. A partir de
f'(x)=-sin(x),e^cos(x),
temos, por produto e cadeia,
f''(x) =ddxl(-sin xr),e^cos x +(-sin x),ddxl(e^cos xr) =-cos(x),e^cos(x) +(-sin x)l(e^cos x(-sin x)r) =e^cos(x)l(sin^2(x)-cos(x)r)
Em x=kpi temos sin(kpi)=0 e cos(kpi)=(-1)^k. Logo
f''(kpi) =e^(-1)^kl(0-(-1)^kr) =-(-1)^k,e^(-1)^k
Se k é par, (-1)^k=1 e f''(kpi)=-e<0, indicando máximo local.
Se k é ímpar, (-1)^k=-1 e f''(kpi)=e^-1>0, indicando mínimo local.

Resposta

Os máximos locais ocorrem em
x=2kpi, f(2kpi)=e^cos(2kpi)=e^1=e,
e os mínimos locais ocorrem em
x=(2k+1)pi, fl((2k+1)pir) =e^cosl((2k+1)pir)=e^-1

Exercícios relacionados