Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-y^prime-2 y=0;
y(0)=-2, y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. O problema que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' - 2y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = -2 e y'(0) = 5
Para resolver isso, vamos precisar aplicar as transformadas de Laplace nas derivadas de y e resolver para Y(s) , que é a transformada de y(t) . Depois, faremos a transformada inversa para encontrar y(t) .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
  • A transformada de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • A transformada de y'(t) é s Y(s) - y(0)
  • A transformada de y(t) é Y(s)
Então, aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - y' - 2y = L0
Isso resulta em:
(s^2 Y(s) - s cdot y(0) - y'(0)) - (s Y(s) - y(0)) - 2 Y(s) = 0

Passo 3

Agora, substituímos os valores das condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 5 :
s^2 Y(s) - s cdot (-2) - 5 - s Y(s) + (-2) - 2 Y(s) = 0
Simplificando os termos:
s^2 Y(s) + 2s - 5 - s Y(s) - 2 - 2 Y(s) = 0

Passo 4

Vamos agrupar os termos que envolvem Y(s) e os termos constantes:
(s^2 - s - 2) Y(s) + 2s - 7 = 0
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = 7 - 2ss^2 - s - 2

Passo 5

Vamos fatorar o denominador s^2 - s - 2 :
s^2 - s - 2 = (s - 2)(s + 1)
Então, temos:
Y(s) = 7 - 2s(s - 2)(s + 1)

Passo 6

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para facilitar a transformação inversa:
7 - 2s(s - 2)(s + 1) = As - 2 + Bs + 1
Multiplicando ambos os lados por (s - 2)(s + 1) :
7 - 2s = A(s + 1) + B(s - 2)

Passo 7

Para encontrar os valores de A e B , escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Se s = 2 :
7 - 4 = A(3) + B(0) Rightarrow 3 = 3A Rightarrow A = 1
  • Se s = -1 :
7 - (-2) = A(0) + B(-3) Rightarrow 9 = -3B Rightarrow B = -3

Passo 8

Com os valores de A e B , a expressão de Y(s) fica:
Y(s) = 1s - 2 - 3s + 1

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) :
y(t) = L^-11s - 2 - 3 L^-11s + 1
Sabemos que:
L^-11s - a = e^at
Então:
y(t) = e^2t - 3 e^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^2t - 3 e^-t

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