Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das transformadas de Laplace. O problema que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar as transformadas de Laplace nas derivadas de
e resolver para
, que é a transformada de
. Depois, faremos a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Então, aplicando isso na nossa equação:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, substituímos os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que envolvem
e os termos constantes:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para facilitar a transformação inversa:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 8
Com os valores de
e
, a expressão de
fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: