Para a função
:
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente encontre os intervalos em que ela é côncava para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. O conteúdo principal aqui é o estudo do sinal da segunda derivada
.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia. Como
, temos
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Aplicando produto e cadeia:
Por fim,
Passo 4
Para descobrir onde muda a concavidade, igualamos
.
Essa equação quadrática em
tem raízes
Como
não vale para cosseno, a única solução relevante é
Chamando
, obtemos os pontos em que
:
Passo 5
Agora analisamos o sinal de
. Como
sempre, o sinal vem de
.
Reescrevendo,
Reescrevendo,
e
Testando um ponto, em
temos
, logo em torno de
é côncavo para baixo; em
temos
, logo perto de
é côncavo para cima.
Passo 6
Então os intervalos de concavidade ficam:
- Concavidade para baixo (
) quando - Concavidade para cima (
) quando
E os pontos de inflexão são exatamente onde
, ou seja,
Resposta
Intervalos de concavidade para baixo:
Intervalos de concavidade para cima:
Pontos de inflexão: