Para a função e^cos (x):
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=e^cos x que a gente encontre os intervalos em que ela é côncava para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. O conteúdo principal aqui é o estudo do sinal da segunda derivada f''(x).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia. Como f(x)=e^cos x, temos
f'(x)=e^cos xcdotl(cos xr)'=e^cos xcdot(-sin x)=-sin x,e^cos x

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Aplicando produto e cadeia:
f''(x)=l(-sin xr)'e^cos x+(-sin x)l(e^cos xr)' =-cos x,e^cos x+(-sin x)l(e^cos x(-sin x)r)
Por fim,
f''(x) =-cos x,e^cos x+ sin^2 x,e^cos x =e^cos xl(sin^2 x-cos xr)

Passo 4

Para descobrir onde muda a concavidade, igualamos sin^2 x-cos x=0.
sin^2 x=cos x Longrightarrow 1-cos^2 x=cos x Longrightarrow cos^2 x+cos x-1=0
Essa equação quadrática em cos x tem raízes
cos x=-1pmraiz1+42 =-1pmraiz52
Como -1-raiz52<-1 não vale para cosseno, a única solução relevante é
cos x=raiz5-12
Chamando alpha=arccos!l((raiz5-1)/2r), obtemos os pontos em que f''(x)=0:
x=2pi kpmalpha, kinZ

Passo 5

Agora analisamos o sinal de f''(x)=e^cos x(sin^2 x-cos x). Como e^cos x>0 sempre, o sinal vem de
sin^2 x-cos x.
Reescrevendo,
sin^2 x-cos x>0 Long<=ftrightarrow cos x<raiz5-12,
e
sin^2 x-cos x<0 Long<=ftrightarrow cos x>raiz5-12
Testando um ponto, em x=0 temos cos0=1>(raiz5-1)/2, logo em torno de 0 é côncavo para baixo; em x=pi temos cospi=-1<(raiz5-1)/2, logo perto de pi é côncavo para cima.

Passo 6

Então os intervalos de concavidade ficam:
  • Concavidade para baixo ( f''<0) quando cos x>raiz5-12 ;Longrightarrow; xinl(2pi k-alpha,;2pi k+alphar)
  • Concavidade para cima ( f''>0) quando cos x<raiz5-12 ;Longrightarrow; xinl(2pi k+alpha,;2pi(k+1)-alphar)
E os pontos de inflexão são exatamente onde cos x=(raiz5-1)/2, ou seja,
x=2pi kpmalpha, kinZ

Resposta

Intervalos de concavidade para baixo:
xinl(2pi k-alpha,;2pi k+alphar), alpha=arccos!l(raiz5-12r),;kinZ
Intervalos de concavidade para cima:
xinl(2pi k+alpha,;2pi(k+1)-alphar), kinZ
Pontos de inflexão:
x=2pi kpmalpha, kinZ

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