O Teorema 6 na Seção 7.3 pode ser expresso em termos da transformada de Laplace inversa como
mathscrL^-1d^n Fd s^n(t)=(-t)^n f(t),
em que f=mathscrL^-1F. Use essa equação nos problemas 33-36 para calcular mathscrL^-1F.
F(s)=ln (s^2+9s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede f(t)=mathscrL^-1F(s) com
F(s)=ln!l(s^2+9r);-;ln!l(s^2+1r)
Vamos usar a propriedade
mathscrL^-1lF'(s)r(t)=-,t,f(t),
ou seja
f(t)=-1t,mathscrL^-1lF'(s)r(t)

Passo 2

Calculamos a derivada de F(s):
F'(s) =ddslnl(s^2+9r);-;ddslnl(s^2+1r) =2ss^2+9-2ss^2+1
Juntando frações:
F'(s) =2sl(1s^2+9-1s^2+1r) =-16s(s^2+1)(s^2+9)

Passo 3

Então
-,F'(s)=16s(s^2+1)(s^2+9)
Precisamos de mathscrL^-1-F'(s).

Passo 4

Fazemos frações parciais em
16s(s^2+1)(s^2+9) =A,ss^2+1+B,ss^2+9
Temos
16s = sl[A(s^2+9)+B(s^2+1)r] ;Longrightarrow; A+B=0, 9A+B=16,
logo A=2, B=-2. Assim
-,F'(s) =2,ss^2+1-2,ss^2+9 ;Longrightarrow; mathscrL^-1-F'(s) =2cos t-2cos(3t)

Passo 5

Finalmente,
f(t) =-1t,mathscrL^-1F'(s) =1t,mathscrL^-1-F'(s) =1tl(2cos t-2cos(3t)r) =2tl(cos t-cos(3t)r)

Resposta

mathscrL^-1!lln!l(tfracs^2+9s^2+1r)r(t) =2tl(cos t-cos(3t)r)

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