Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=0;
y(0)=-1, y^prime(0)=6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 6y' + 9y = 0
E condições iniciais:
y(0) = -1, y'(0) = 6
O conteúdo que vamos utilizar para resolver esse problema é o método das transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde é mais fácil resolver.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' + 6Ly' + 9Ly = 0
Substituindo as transformadas das derivadas:
(s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 6(sY(s) - y(0)) + 9Y(s) = 0

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 6 na equação:
(s^2Y(s) - s(-1) - 6) + 6(sY(s) - (-1)) + 9Y(s) = 0
Simplificando os sinais:
(s^2Y(s) + s - 6) + 6(sY(s) + 1) + 9Y(s) = 0

Passo 4

Vamos distribuir e reunir os termos com Y(s):
s^2Y(s) + s - 6 + 6sY(s) + 6 + 9Y(s) = 0
Combinando os termos semelhantes:
(s^2 + 6s + 9)Y(s) + s = 0

Passo 5

Agora, isolamos Y(s):
(s^2 + 6s + 9)Y(s) = -s
Y(s) = -ss^2 + 6s + 9

Passo 6

Vamos simplificar o denominador. O polinômio s^2 + 6s + 9 pode ser fatorado como:
s^2 + 6s + 9 = (s + 3)^2
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = -s(s + 3)^2

Passo 7

Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos reescrever -s como:
-s = -(s + 3) + 3
Então,
Y(s) = -(s + 3) + 3(s + 3)^2 = -s + 3(s + 3)^2 + 3(s + 3)^2
Simplificando:
Y(s) = -1s + 3 + 3(s + 3)^2

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-at
L^-11(s + a)^2 = te^-at
Aplicando isso aos nossos termos:
y(t) = -e^-3t + 3te^-3t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = (-1 + 3t) , e^-3t

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