Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E condições iniciais:
O conteúdo que vamos utilizar para resolver esse problema é o método das transformadas de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, onde é mais fácil resolver.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Vamos distribuir e reunir os termos com
:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador. O polinômio
pode ser fatorado como:
Então, a expressão para
fica:
Passo 7
Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos reescrever
como:
Então,
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: