Para a função
:
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas e o critério de concavidade (sinal de
).
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. A única restrição é
, ou seja
. No intervalo dado,
só ocorre em
. Assim o domínio é
Passo 3
Calculamos
por derivação da forma
:
logo
Agora derivamos novamente:
Passo 4
Analisamos o sinal de
No domínio
. Como
, temos
. Logo
Isto significa que
é côncava para cima em cada um desses intervalos e nunca é côncava para baixo.
Passo 5
Ponto de inflexão ocorre onde
muda de sinal ou se anula. Aqui
é sempre positiva e nunca se anula no domínio, e em
a função nem existe.
Resposta
A função é côncava para cima em
e em
, não há concavidade para baixo nem pontos de inflexão.