Para a função 11-cos (x)-2 pi<x<2 pi:
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=11-cos x
definida em -2pi<x<2pi e pede os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas e o critério de concavidade (sinal de f'').

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. A única restrição é 1-cos xneq0, ou seja cos xneq1. No intervalo dado, cos x=1 só ocorre em x=0. Assim o domínio é
(-2pi,0),cup,(0,2pi)

Passo 3

Calculamos f'(x) por derivação da forma g(x)^-1:
f'(x) =-g'(x)g(x)^2 com g(x)=1-cos x,;g'(x)=sin x,
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f'(x)=-sin x(1-cos x)^2
Agora derivamos novamente:
f''(x) =ddxl[-sin x,(1-cos x)^-2r] =cos x+2(1-cos x)^2

Passo 4

Analisamos o sinal de
f''(x)=cos x+2(1-cos x)^2
No domínio (1-cos x)^2>0. Como cos x>=-1, temos cos x+2>=1>0. Logo
f''(x)>0 para todo xin(-2pi,0)cup(0,2pi)
Isto significa que f é côncava para cima em cada um desses intervalos e nunca é côncava para baixo.

Passo 5

Ponto de inflexão ocorre onde f'' muda de sinal ou se anula. Aqui f'' é sempre positiva e nunca se anula no domínio, e em x=0 a função nem existe.

Resposta

A função é côncava para cima em (-2pi,0) e em (0,2pi), não há concavidade para baixo nem pontos de inflexão.

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