Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-7 y^prime+10 y=9 cos t+7 sen t
y(0)=5, y^prime(0)=-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-7y'+10y = 9cos t + 7sin t
com as condições iniciais y(0)=5 e y'(0)=-4, usando o método de transformadas de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
e das transformadas
Lcos t(s)=dfracss^2+1,
Lsin t(s)=dfrac1s^2+1.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em
y''-7y'+10y = 9cos t + 7sin t
obtemos
l(s^2Y(s)-scdot5-(-4)r) -7l(sY(s)-5r) +10Y(s) =9ss^2+1+7s^2+1
Isso dá
(s^2-7s+10)Y(s)-5s+4+35 =9s+7s^2+1,
ou seja
(s^2-7s+10)Y(s) =9s+7s^2+1+5s-39

Passo 3

Isolando Y(s) e usando s^2-7s+10=(s-5)(s-2), temos
Y(s) =9s+7(s^2+1)(s-5)(s-2) +5s-39(s-5)(s-2)
Colocando num único denominador:
Y(s)=5s^3-39s^2+14s-32(s-5)(s-2)(s^2+1)

Passo 4

Fazemos a decomposição
Y(s) =As-5+Bs-2+Cs+Ds^2+1
Resolvendo para A,B,C,D encontra-se
A=-4, B=8, C=1, D=0,
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Y(s)=-4s-5+8s-2+ss^2+1

Passo 5

Invertemos a transformada termo a termo usando
L^-11/(s-a)=e^at e L^-1s/(s^2+1)=cos t:
y(t)=-4e^5t+8e^2t+cos t

Resposta

y(t)=-4e^5t+8e^2t+cos t

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