Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime+4 y=4 t^2-4 t+10;
y(0)=0, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de transformadas de Laplace, o problema de valor inicial
com condições e . Vamos usar:
– a transformada de Laplace de derivadas,
– a tabela ,
– e depois fazer frações parciais para inverter.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando , temos
Como e , o lado esquerdo vira

Passo 3

Agora calculamos a transformada do lado direito:
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Passo 4

Igualando e isolando Y(s):
(s^2+4),Y(s) -3 = 8s^3 - 4s^2 + 10s Longrightarrow Y(s) = 3s^2+4 + 8s^3(s^2+4) - 4s^2(s^2+4) + 10s(s^2+4)

Passo 5

Fazemos frações parciais em cada termo:
  1. 3s^2+4 já está pronta.
  2. 10s(s^2+4) = 5/2s - 5/2,ss^2+4
  3. -4s^2(s^2+4) = -1s^2 + 1s^2+4
  4. 8s^3(s^2+4) = -12s + 2s^3 + 12,ss^2+4

Passo 6

Invertendo cada pedaço pela tabela:
  • 3s^2+4;longrightarrow;32sin(2t)
  • 5/2s;longrightarrow;52, 5/2,ss^2+4;longrightarrow;52cos(2t)
  • -1s^2;longrightarrow;-t, 1s^2+4;longrightarrow;12sin(2t)
  • -12s;longrightarrow;-12, 2s^3;longrightarrow;t^2, 12,ss^2+4;longrightarrow;12cos(2t)

Passo 7

Somando todas as componentes em t>=0:
– termos em t^2: t^2.
– termos em t: -t.
– termos constantes: 52-12 = 2.
– senos: 32sin(2t)+12sin(2t) = 2sin(2t).
– cossenos: -52cos(2t)+12cos(2t) = -2cos(2t).
Portanto
y(t) = t^2 ;-; t ;+; 2 ;+; 2sin(2t);-;2cos(2t)

Resposta

y(t) = t^2 - t + 2 + 2sin(2t) - 2cos(2t)

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