Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=4 e^3 t;
y(0)=2, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 5y = 4e^3t, y(0)=2, y'(0)=7
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L, usar as condições iniciais para obter Y(s)= Ly(t) e depois inverter.

Passo 2

Aplico L em cada termo, lembrando
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0). Obtenho
s^2Y(s)-2s-7 ;-;4l(sY(s)-2r);+;5Y(s) ;=;4s-3

Passo 3

Agrupo os termos em Y(s) e os termos livres, chegando a
(s^2-4s+5),Y(s) ;=;2s - 1 ;+;4s-3,
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Y(s) ;=;2s-1s^2-4s+5;+;4(s-3),(s^2-4s+5)

Passo 4

Escrevo s^2-4s+5=(s-2)^2+1 e separo
2s-1(s-2)^2+1 = 2(s-2)+3(s-2)^2+1 = 2s-2(s-2)^2+1 ;+;31(s-2)^2+1,
que é a parte homogênea, e deixo
4(s-3)l((s-2)^2+1r)
como parte particular.

Passo 5

Inverto a parte homogênea pela tabela:
2s-2(s-2)^2+1longrightarrow 2e^2tcos t, 31(s-2)^2+1longrightarrow 3e^2tsin t
Assim
yh(t)=2e^2tcos t +3e^2tsin t

Passo 6

Para a parte particular faço frações parciais buscando A,B,C tais que
4(s-3)l((s-2)^2+1r) =As-3 + B(s-2)+C(s-2)^2+1
Igualando numeradores vem
A=2,;B=-2,;C=-2,
então
4(s-3)l((s-2)^2+1r) = 2s-3 -2s-2(s-2)^2+1 -21(s-2)^2+1

Passo 7

Inverto cada termo da parte particular:
2s-3longrightarrow 2e^3t, -2s-2(s-2)^2+1longrightarrow -2e^2tcos t, -21(s-2)^2+1longrightarrow -2e^2tsin t
Somando com yh(t) resulta
y(t) =l(2-2r)e^2tcos t +l(3-2r)e^2tsin t +2e^3t = e^2tsin t +2e^3t

Resposta

y(t) = e^2tsin t + 2e^3t

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