Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
w^prime prime+w=t^2+2;
w(0)=1, w^prime(0)=-1

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
w'' + w = t^2 + 2
com as condições iniciais w(0) = 1 e w'(0) = -1 . Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método das transformadas de Laplace. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com as condições iniciais para encontrar a solução w(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda, w'' , é:
Lw'' = s^2 W(s) - s w(0) - w'(0)
onde W(s) é a transformada de Laplace de w(t) .
E a transformada de Laplace de w(t) é simplesmente W(s) . Então, aplicando a transformada na equação original, temos:
s^2 W(s) - s w(0) - w'(0) + W(s) = Lt^2 + 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito, Lt^2 + 2 . Sabemos que:
Lt^n = n!s^n+1
Então,
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
E,
L2 = 2s
Portanto,
Lt^2 + 2 = 2s^3 + 2s

Passo 4

Substituindo as transformadas de Laplace na equação original:
s^2 W(s) - s w(0) - w'(0) + W(s) = 2s^3 + 2s
Agora, vamos substituir as condições iniciais w(0) = 1 e w'(0) = -1 :
s^2 W(s) - s(1) - (-1) + W(s) = 2s^3 + 2s
Simplificando:
s^2 W(s) - s + 1 + W(s) = 2s^3 + 2s

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos que contêm W(s) :
(s^2 + 1) W(s) = 2s^3 + 2s + s - 1
Para isolar W(s) , dividimos ambos os lados por s^2 + 1 :
W(s) = 2s^3 + 2s + s - 1s^2 + 1

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do numerador combinando os termos:
W(s) = 2 + 2s^2 + s^4 - s^2s^3(s^2 + 1)
Simplificando mais:
W(s) = s^4 + s^2 + 2s^3(s^2 + 1)
Agora, vamos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 7

Decompondo em frações parciais:
W(s) = s^4 + s^2 + 2s^3(s^2 + 1) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds + Es^2 + 1
Resolvendo para os coeficientes A, B, C, D, E , encontramos:
A = 1, B = 0, C = 2, D = 1, E = 0
Portanto:
W(s) = 1s + 2s^3 + ss^2 + 1

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar w(t) :
w(t) = L^-11s + L^-12s^3 + L^-1ss^2 + 1
Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-12s^3 = 2t^22 = t^2
L^-1ss^2 + 1 = cos(t)
Portanto:
w(t) = 1 + t^2 + cos(t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
w(t) = 1 + t^2 + cos(t)

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