Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
;
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método das transformadas de Laplace. Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com as condições iniciais para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda,
, é:
onde
é a transformada de Laplace de
.
E a transformada de Laplace de
é simplesmente
. Então, aplicando a transformada na equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito,
. Sabemos que:
Então,
E,
Portanto,
Passo 4
Substituindo as transformadas de Laplace na equação original:
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do numerador combinando os termos:
Simplificando mais:
Agora, vamos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 7
Decompondo em frações parciais:
Resolvendo para os coeficientes
, encontramos:
Portanto:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é: