A função C(t)=K(e^-a t-e^-b t), onde a, b e K são constantes positivas e b>a, é usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t.
(a) Mostre que lim t infty C(t)=0.
(b) Encontre C^prime(t), a taxa segundo a qual a droga é eliminada da circulação.
(c) Quando essa taxa é igual a zero?

Passo 1

O enunciado dá a função
C(t)=Kl(e^-a t-e^-b tr),
onde a,b,K>0 e b>a. O conteúdo é limites e derivadas de funções exponenciais. Precisamos (a) calcular limttoinftyC(t), (b) achar C'(t) usando a regra da cadeia, e (c) resolver C'(t)=0.

Passo 2

Para limttoinftyC(t) note que, como a>0 e b>0, temos
limttoinftye^-a t=0 e limttoinftye^-b t=0
Logo,
limttoinftyC(t) =Kl(0-0r) =0

Passo 3

Para achar C'(t) aplicamos a derivada termo a termo e a regra da cadeia:
ddte^-a t=-a,e^-a t, ddte^-b t=-b,e^-b t
Portanto,
C'(t) =Kl(-a,e^-a t-l(-b,e^-b tr)r) =Kl(b,e^-b t-a,e^-a tr)

Passo 4

Para encontrar quando C'(t)=0, igualamos
b,e^-b t-a,e^-a t=0 Longrightarrow b,e^-b t=a,e^-a t
Dividindo por e^-a t e isolando t:
b,e^-(b-a)t=a Longrightarrow e^-(b-a)t=ab Longrightarrow -(b-a)t=lnab Longrightarrow t=1b-alnba

Resposta

(a) limttoinftyC(t)=0.
(b) C'(t)=Kl(b,e^-b t-a,e^-a tr).
(c) C'(t)=0 quando
t=1b-alnba

Exercícios relacionados