Uma função f: A B uma é chamada bijetora se for injetora e sobrejetora. Na verdade, f é bijetora se, e somente se, existir uma função g: B A tal que (f circ g)(x)=x e (g circ f)(x)=x. Neste caso, também dizemos que f é inversível e que g é a inversa da f. Neste caso, escrevemos g=f^-1. Mostre que:
A inversa da função f:(-infty, 0) cup(0,+infty) (-infty, 0) cup(0,+infty), f(x)=1x é ela mesma, isto é, f=f^-1

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon(-infty,0)cup(0,+infty)to(-infty,0)cup(0,+infty)
por
f(x)=1x
e lembra que f é inversível se existir g tal que
,(fcirc g)(x)=x e (gcirc f)(x)=x. Queremos mostrar que f é sua própria inversa, ou seja, f=f^-1.

Passo 2

Como candidato a inversa, definimos
gcolon(-infty,0)cup(0,+infty)to(-infty,0)cup(0,+infty), g(x)=1x
Note que a fórmula de g coincide com a de f.

Passo 3

Verificamos a composição (fcirc g). Para todo xneq0 temos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(tfrac1xr) =1tfrac1x=x
Logo fcirc g é a função identidade no contradomínio de f.

Passo 4

Analogamente, calculamos (gcirc f). Para todo xneq0
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(tfrac1xr) =1tfrac1x=x
Isto mostra que gcirc f é a identidade no domínio de f.

Passo 5

Como g satisfaz (fcirc g)(x)=x e (gcirc f)(x)=x, concluímos que g é a inversa de f. Mas g(x)=1/x=f(x), portanto
f^-1(x)=1x=f(x),
isto é, f=f^-1.

Resposta

,f^-1(x)=1x, logo f=f^-1.

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