Uma função
uma é chamada bijetora se for injetora e sobrejetora. Na verdade,
é bijetora se, e somente se, existir uma função
tal que
e
. Neste caso, também dizemos que
é inversível e que
é a inversa da
. Neste caso, escrevemos
. Mostre que:
A inversa da função
é ela mesma, isto é,
A inversa da função
Passo 1
O enunciado define a função
por
por
e lembra que
é inversível se existir
tal que
e
. Queremos mostrar que
é sua própria inversa, ou seja,
.
Passo 2
Como candidato a inversa, definimos
Note que a fórmula de
coincide com a de
.
Passo 3
Verificamos a composição
. Para todo
temos
Logo
é a função identidade no contradomínio de
.
Passo 4
Analogamente, calculamos
. Para todo
Isto mostra que
é a identidade no domínio de
.
Passo 5
Como
satisfaz
e
, concluímos que
é a inversa de
. Mas
, portanto
isto é,
.