As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-seno

Passo 1

O objetivo é definir a função arco-seno, que é a inversa da função seno quando ela está restrita de modo a ficar bijetora. O conteúdo é função inversa e restrição de domínio para garantir injeção.

Passo 2

Para tornar o seno inversível, restringimos seu domínio para [-tfracpi2,tfracpi2], onde ele é estritamente crescente e atinge todo o intervalo [-1,1]. Portanto, consideramos
sincolon [-tfracpi2,tfracpi2]to[-1,1]

Passo 3

A função arco-seno é então definida como inversa dessa restrição. Formalmente,
arcsincolon [-1,1]to[-tfracpi2,tfracpi2],
onde para cada xin[-1,1] temos
y = arcsin(x) Long<=ftrightarrow sin(y)=x e yin[-tfracpi2,tfracpi2]

Passo 4

Algumas propriedades básicas:
arcsin é contínua e estritamente crescente em [-1,1], com
arcsin(-1)=-tfracpi2, arcsin(0)=0 e arcsin(1)=tfracpi2.

Resposta

arcsincolon [-1,1]to[-tfracpi2,tfracpi2], definida por
arcsin(x)=y Long<=ftrightarrow sin(y)=x, yin[-tfracpi2,tfracpi2]

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