Seja f: A B uma função. Dizemos que f é sobrejetora se para cada y in B, existir x in A tal que f(x)=y. Em outras palavras, f é sobrejetora se Im(f)=B. Mostre que as funções são sobrejetoras
f: R R, com f(x)=x^3.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=x^3
e pede para mostrarmos que f é sobrejetora. O conteúdo utilizado será a definição de sobrejetividade: f é sobrejetora se, para todo yinR, existe xinR tal que f(x)=y.

Passo 2

Relembrando a definição: f é sobrejetora quando
Im(f)=R
ou seja, para cada yinR existe xinR com
f(x)=y

Passo 3

Seja yinR um valor arbitrário no contradomínio. Queremos encontrar xinR tal que
f(x)=x^3=y

Passo 4

A equação x^3=y tem solução real única dada por
x=raiz[3]y,
pois a função cúbica é bijetora de R em R. De fato,
fl(raiz[3]yr) =l(raiz[3]yr)^3 =y

Passo 5

Como para todo yinR encontramos x=raiz[3]yinR satisfazendo f(x)=y, concluímos que Im(f)=R. Logo, f é sobrejetora.

Resposta

A função f(x)=x^3 é sobrejetora, pois para cada yinR existe x=raiz[3]y em R tal que f(x)=y.

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