Seja
uma função. Dizemos que
é sobrejetora se para cada
, existir
tal que
. Em outras palavras,
é sobrejetora se
. Mostre que as funções são sobrejetoras
, com
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrarmos que
é sobrejetora. O conteúdo utilizado será a definição de sobrejetividade:
é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
Passo 2
Relembrando a definição:
é sobrejetora quando
ou seja, para cada
existe
com
Passo 3
Seja
um valor arbitrário no contradomínio. Queremos encontrar
tal que
Passo 4
A equação
tem solução real única dada por
pois a função cúbica é bijetora de
em
. De fato,
Passo 5
Como para todo
encontramos
satisfazendo
, concluímos que
. Logo,
é sobrejetora.
Resposta
A função
é sobrejetora, pois para cada
existe
em
tal que
.