Sejam
um intervalo aberto e
uma função. Dado
, a reta tangente ao gráfico de
no ponto (
) é a (única) reta que passa pelo ponto
e tem inclinação igual a
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente
é dada por
. A expressão acima significa que, quando
se aproxima de
, o quociente
se aproxima do número
.
Por exemplo, se
e
, então
de modo que a equação da reta tangente no ponto
é
. Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
para o valor de
indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto (
)
(c)
, com
, para um valor genérico de
Passo 1
Aqui a função é
, com
, e queremos encontrar a derivada em um ponto genérico
e, em seguida, montar a reta tangente no ponto
. Vamos usar a definição
e depois a fórmula da reta tangente
Passo 2
Calculemos a derivada pelo limite:
Ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é constante e igual a
.
Passo 3
Sabemos que
e que
. Substituindo na fórmula da reta tangente:
Se quisermos, podemos expandir e ver que isso dá exatamente
ou seja, a reta tangente coincide com a própria função.
Resposta
Equação da reta tangente: