Sejam I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ) é a (única) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a,quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^prime(a)(x-a). A expressão acima significa que, quando x se aproxima de a, o quociente (f(x)-f(a)) /(x-a) se aproxima do número f^prime(a).
Por exemplo, se f(x)=x^3 e a=1, então
f^prime(1)=lim x 1 x^3-1^3x-1=lim x 1 (x-1)(x^2+x+1)(x-1)=lim x 1(x^2+x+1)=(1^2+1+1)=3,de modo que a equação da reta tangente no ponto (1, f(1))=(1,1) é y-1=3(x-1). Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) )
(c) f(x)=m x+b, com m, b in R, para um valor genérico de a

Passo 1

Aqui a função é f(x)=m x+b, com m,binR, e queremos encontrar a derivada em um ponto genérico ain I e, em seguida, montar a reta tangente no ponto l(a,f(a)r). Vamos usar a definição
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e depois a fórmula da reta tangente
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 2

Calculemos a derivada pelo limite:
f'(a) =limxto a(m x+b)-(m a+b)x-a =limxto am(x-a)x-a =m
Ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é constante e igual a m.

Passo 3

Sabemos que f(a)=m a+b e que f'(a)=m. Substituindo na fórmula da reta tangente:
y - (m a+b) = m,(x - a)
Se quisermos, podemos expandir e ver que isso dá exatamente
y = m x + b,
ou seja, a reta tangente coincide com a própria função.

Resposta

f'(a) = m.
Equação da reta tangente: y - (m a + b) = m (x - a), que se simplifica para y = m x + b.

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