Uma função f: A B uma é chamada bijetora se for injetora e sobrejetora. Na verdade, f é bijetora se, e somente se, existir uma função g: B A tal que (f circ g)(x)=x e (g circ f)(x)=x. Neste caso, também dizemos que f é inversível e que g é a inversa da f. Neste caso, escrevemos g=f^-1. Mostre que:
Dado a>0 e a neq 1. A inversa da f:(0,+infty) R, dada por f(x)=log a(x) é a função g: R (0,+infty), dada por g(x)=a^x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f:(0,+infty)toR, f(x)=loga(x),
onde a>0 e aneq1, e pede para mostrar que existe
g:Rto(0,+infty), g(x)=a^x,
tal que
(fcirc g)(x)=xe (gcirc f)(x)=x
O conteúdo usado é a definição de função inversa e as propriedades fundamentais de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Mostramos primeiro que
(fcirc g)(x) =;fl(g(x)r) =fl(a^xr) =logal(a^xr)
Por definição de logaritmo, loga(a^x)=x para todo xinR. Logo
(fcirc g)(x)=xforall,xinR

Passo 3

Agora mostramos que
(gcirc f)(x) =;gl(f(x)r) =gl(loga(x)r) =a^loga(x)
Pela definição de logaritmo, a^loga(x)=x para todo x>0. Assim
(gcirc f)(x)=xforall,xin(0,+infty)
Isso prova que g é realmente a inversa de f.

Resposta

A inversa de
f:(0,+infty)toR, f(x)=loga(x)
é
g:Rto(0,+infty), g(x)=a^x

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