A função
é chamada de densidade de probabilidade normal. A constante
é dita desvio-padrão para a curva normal.
Construir o gráfico de
.
Construir o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para “construir o gráfico” da função
que é a densidade normal com desvio-padrão
.
Conteúdo: análise de função (domínio, paridade, limites, derivadas para monotonia e concavidade) e esboço de gráfico.
Conteúdo: análise de função (domínio, paridade, limites, derivadas para monotonia e concavidade) e esboço de gráfico.
Passo 2
Domínio e paridade
– O domínio de é todo
.
– Note que
– O domínio de
– Note que
logo
é função par, simétrica em relação ao eixo
.
Limites no infinito
Limites no infinito
pois o expoente
tende a
.
Passo 3
Monotonia e máximo
Calculemos a derivada primeira:
Calculemos a derivada primeira:
–
só em
.
– Para ,
e
, logo
; cresce até
.
– Para ,
; decresce depois de
.
Conclusão: ponto crítico é máximo, com
– Para
– Para
Conclusão: ponto crítico
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão
Derivada segunda:
Derivada segunda:
Analisando o sinal de
:
– quando
, isto é
.
– Para :
, então
(concavidade para baixo).
– Para :
(concavidade para cima).
Logo há pontos de inflexão em , onde
–
– Para
– Para
Logo há pontos de inflexão em
Passo 5
Esboço do gráfico
- Eixo horizontal
, eixo vertical . - Função ímpar em relação ao eixo
: simétrica. - Tende a
quando . - Ponto de máximo em
. - Pontos de inflexão em
. - Forma de sino (“bell curve”): cresce para o máximo, depois decresce, com caudas assintóticas a zero.
Resposta
O gráfico de
é a clássica curva em forma de sino, simétrica em torno de
, com altura máxima
, inflexões em
e decaimento assintótico a zero para
.