A função f(x)=1sigma raiz2 pi e^-x^22 sigma^2 é chamada de densidade de probabilidade normal. A constante sigma é dita desvio-padrão para a curva normal.
Construir o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” da função
f(x)=1sigmaraiz2pi;e^-x^22sigma^2,
que é a densidade normal com desvio-padrão sigma>0.
Conteúdo: análise de função (domínio, paridade, limites, derivadas para monotonia e concavidade) e esboço de gráfico.

Passo 2

Domínio e paridade
– O domínio de f é todo R.
– Note que
f(-x) =1sigmaraiz2pi;e^-(-x)^22sigma^2 =1sigmaraiz2pi;e^-x^22sigma^2 =f(x),
logo f é função par, simétrica em relação ao eixo y.
Limites no infinito
limxtopminftyf(x)=0,
pois o expoente -x^2/(2sigma^2) tende a -infty.

Passo 3

Monotonia e máximo
Calculemos a derivada primeira:
f'(x) =1sigmaraiz2pi;e^-x^22sigma^2 ;cdot;l(-xsigma^2r) =f(x),l(-xsigma^2r)
f'(x)=0 só em x=0.
– Para x<0, -x/sigma^2>0 e f(x)>0, logo f'(x)>0; cresce até x=0.
– Para x>0, f'(x)<0; decresce depois de 0.
Conclusão: ponto crítico x=0 é máximo, com
f(0)=1sigmaraiz2pi

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão
Derivada segunda:
f''(x) =l(f'(x)r)' =l(f(x),(-tfracxsigma^2)r)' =f(x)l(tfracx^2sigma^4-tfrac1sigma^2r)
Analisando o sinal de f''(x):
f''(x)=0 quando tfracx^2sigma^4-tfrac1sigma^2=0, isto é x=pmsigma.
– Para |x|<sigma: tfracx^2sigma^4<tfrac1sigma^2, então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
– Para |x|>sigma: f''(x)>0 (concavidade para cima).
Logo há pontos de inflexão em l(pmsigma,;f(pmsigma)r), onde
f(pmsigma) =1sigmaraiz2pi;e^-1/2

Passo 5

Esboço do gráfico
  1. Eixo horizontal x, eixo vertical f(x).
  2. Função ímpar em relação ao eixo y: simétrica.
  3. Tende a 0 quando xtopminfty.
  4. Ponto de máximo em (0,:1/(sigmaraiz2pi)).
  5. Pontos de inflexão em l(pmsigma,;1/(sigmaraiz2pi),e^-1/2r).
  6. Forma de sino (“bell curve”): cresce para o máximo, depois decresce, com caudas assintóticas a zero.

Resposta

O gráfico de f é a clássica curva em forma de sino, simétrica em torno de x=0, com altura máxima 1/(sigmaraiz2pi), inflexões em x=pmsigma e decaimento assintótico a zero para xtopminfty.

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