A função
é chamada de densidade de probabilidade normal. A constante
é dita desvio-padrão para a curva normal.
Mostrar que o máximo de
ocorre em
e que os pontos de inflexão ocorrem em
Mostrar que o máximo de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a densidade normal
atinge seu valor máximo em
e que os pontos de inflexão estão em
. Vamos usar derivadas (conteúdo de cálculo diferencial) e a regra da cadeia para exponenciais.
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada
. Como
com
e
, aplica-se a regra da cadeia:
Passo 3
Para encontrar o máximo, igualamos
. Como o fator exponencial e as constantes nunca são zero, resta
, logo
. Além disso, para
temos
e para
temos
, indicando que em
há realmente um máximo.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada
. Partindo de
com
, novamente aplicamos a regra do produto e da cadeia:
Passo 5
Os pontos de inflexão são dados por
. Como
e o exponencial é sempre positivo, basta
, ou seja,
e portanto
. Nesses valores a concavidade muda de sinal, confirmando os pontos de inflexão.
Resposta
O máximo de
ocorre em
e os pontos de inflexão ocorrem em
.