A função f(x)=1sigma raiz2 pi e^-x^22 sigma^2 é chamada de densidade de probabilidade normal. A constante sigma é dita desvio-padrão para a curva normal.
Mostrar que o máximo de f(x) ocorre em x=0 e que os pontos de inflexão ocorrem em x= pm sigma ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a densidade normal f(x)=1sigmaraiz2pie^-x^2/(2sigma^2) atinge seu valor máximo em x=0 e que os pontos de inflexão estão em x=pmsigma. Vamos usar derivadas (conteúdo de cálculo diferencial) e a regra da cadeia para exponenciais.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada f'(x). Como f(x)=C,e^g(x) com C=1/(sigmaraiz2pi) e g(x)=-x^2/(2sigma^2), aplica-se a regra da cadeia:
f'(x)=C,e^g(x),g'(x)=1sigmaraiz2pie^-x^2/(2sigma^2)cdotgl(-xsigma^2gr)= -xsigma^3raiz2pie^-x^2/(2sigma^2)

Passo 3

Para encontrar o máximo, igualamos f'(x)=0. Como o fator exponencial e as constantes nunca são zero, resta -x)=0, logo x=0. Além disso, para x<0 temos f'(x)>0 e para x>0 temos f'(x)<0, indicando que em x=0 há realmente um máximo.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x). Partindo de f'(x)=-A,x,e^-x^2/(2sigma^2) com A=1/(sigma^3raiz2pi), novamente aplicamos a regra do produto e da cadeia:
f''(x)=-Al[e^-x^2/(2sigma^2)+xcdot e^-x^2/(2sigma^2)l(-tfracxsigma^2r)r] =-A,e^-x^2/(2sigma^2)l(1-x^2sigma^2r)

Passo 5

Os pontos de inflexão são dados por f''(x)=0. Como A>0 e o exponencial é sempre positivo, basta 1-tfracx^2sigma^2=0, ou seja, x^2=sigma^2 e portanto x=pmsigma. Nesses valores a concavidade muda de sinal, confirmando os pontos de inflexão.

Resposta

O máximo de f(x) ocorre em x=0 e os pontos de inflexão ocorrem em x=pmsigma.

Exercícios relacionados