Funções tais que
,
, são ditas homogêneas de grau
. Neste caso, se
é diferenciável então:
Provar o resultado para as funções homogêneas de grau
com
variáveis
Passo 1
Nesta questão queremos provar o teorema de Euler para funções homogêneas: se uma função diferenciável
satisfaz
para todo
, então vale
Vamos usar a regra da cadeia e avaliar uma derivada em
.
Passo 2
Definimos a função de uma variável
Pela hipótese de homogeneidade, temos também
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para
. Como
,
Passo 4
Por outro lado, derivando
obtemos
Passo 5
Agora igualamos as duas expressões para
e avaliamos em
:
Isso é exatamente o resultado desejado.
Passo 6
Portanto, para toda função diferenciável homogênea de grau
, vale
Resposta
x_1∂f/∂x_1+⋯+x_n∂f/∂x_n=m f(x_1,…,x_n).