Funções tais que f(+x3,+x2, cdots,+xn)=t^m f(x1, x2, ldots, xn), forall(x1, x2, ldots, xn) in D subset R^n, forall in R, são ditas homogêneas de grau m. Neste caso, se f é diferenciável então:
l partial fpartial x x3+partial fpartial x2 x2+ldots+partial fpartial xn xn=m f(x1, x2, ldots, xn) forall(x3, x2, ldots, xn) e
Provar o resultado para as funções homogêneas de grau m com n variáveis

Passo 1

Nesta questão queremos provar o teorema de Euler para funções homogêneas: se uma função diferenciável f:R^ntoR satisfaz f(t x1, t x2,dots,t xn)=t^m f(x1,x2,dots,xn) para todo tinR, então vale
x1partial fpartial x1+x2partial fpartial x2+cdots+xnpartial fpartial xn=m,f(x1,dots,xn)
Vamos usar a regra da cadeia e avaliar uma derivada em t=1.

Passo 2

Definimos a função de uma variável
g(t)=f(t x1,t x2,dots,t xn)
Pela hipótese de homogeneidade, temos também
g(t)=t^m f(x1,x2,dots,xn)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para g'(t). Como g(t)=fl(t x1,dots,t xnr),
g'(t)=sumi=1^npartial fpartial xil(t x1,dots,t xnr)cdot xi

Passo 4

Por outro lado, derivando g(t)=t^m f(x1,dots,xn) obtemos
g'(t)=m,t^m-1f(x1,dots,xn)

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para g'(t) e avaliamos em t=1:
sumi=1^npartial fpartial xi(x1,dots,xn),xi=m,f(x1,dots,xn)
Isso é exatamente o resultado desejado.

Passo 6

Portanto, para toda função diferenciável homogênea de grau m, vale
x1partial fpartial x1+x2partial fpartial x2+dots+xnpartial fpartial xn=m,f(x1,dots,xn)

Resposta

x_1∂f/∂x_1+⋯+x_n∂f/∂x_n=m f(x_1,…,x_n).

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