Se f é uma função contínua em [0,1], seja |f| o valor máximo de |f| em [0,1].
(a) Prove que para qualquer número c temos |c f|=|c||f|.
(b) Prove que |f+g| <=|f|+|g|. Dê um exemplo onde |f+g| neq|f|+|g|.
© Prove que |h-f| <=|h-g|+|g-f|.

Passo 1

O enunciado define a norma de supremum em C[0,1]: para f contínua em [0,1], seja |f|=maxxin[0,1]|f(x)|. Precisamos mostrar as propriedades de homogeneidade, da desigualdade triangular e da desigualdade triangular para diferenças.

Passo 2

Para (a), note que para todo xin[0,1] vale |c f(x)| = |c|,|f(x)|. Tomando o máximo em [0,1], obtemos
|c f| = maxxin[0,1]|c f(x)| = maxxin[0,1]l(|c|,|f(x)|r) = |c|,maxxin[0,1]|f(x)| = |c|,|f|

Passo 3

Para (b), usamos a desigualdade triangular ponto a ponto: para todo x temos |f(x)+g(x)| <= |f(x)| + |g(x)|. Logo
|f+g| = maxx|f(x)+g(x)| <= maxxl(|f(x)|+|g(x)|r) <= maxx|f(x)| + maxx|g(x)| = |f| + |g|
Um exemplo em que a desigualdade é estrita é escolher funções constantes com sinais opostos, por exemplo
f(x)=1, g(x)=-tfrac12 em [0,1]
Então |f|=1, |g|=1/2 e
|f+g| = |tfrac12| = tfrac12 < 1 + tfrac12 = |f|+|g|

Passo 4

Para ©, aplicamos novamente a desigualdade triangular ponto a ponto a h(x)-f(x) = [h(x)-g(x)]+[g(x)-f(x)]:
|h(x)-f(x)| <= |h(x)-g(x)| + |g(x)-f(x)|
Tomando máximos em [0,1]
|h-f| = maxx|h(x)-f(x)| <= maxx|h(x)-g(x)| + maxx|g(x)-f(x)| = |h-g| + |g-f|

Resposta

(a) |c f| = |c|,|f| (b) |f+g| <= |f|+|g|, por exemplo com f(x)=1 e g(x)=-tfrac12 em [0,1] a desigualdade é estrita. © |h-f| <= |h-g|+|g-f|

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