Se
é uma função contínua em
, seja
o valor máximo de
em
.
(a) Prove que para qualquer número
temos
.
(b) Prove que
. Dê um exemplo onde
.
© Prove que
.
(a) Prove que para qualquer número
(b) Prove que
© Prove que
Passo 1
O enunciado define a norma de supremum em C[0,1]: para f contínua em [0,1], seja
. Precisamos mostrar as propriedades de homogeneidade, da desigualdade triangular e da desigualdade triangular para diferenças.
Passo 2
Para (a), note que para todo
vale
. Tomando o máximo em
, obtemos
Passo 3
Para (b), usamos a desigualdade triangular ponto a ponto: para todo
temos
. Logo
Um exemplo em que a desigualdade é estrita é escolher funções constantes com sinais opostos, por exemplo
Então
,
e
Passo 4
Para ©, aplicamos novamente a desigualdade triangular ponto a ponto a
:
Tomando máximos em
dá
Resposta
(a)
(b)
, por exemplo com
e
em [0,1] a desigualdade é estrita. ©