Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de funções. A gente tem a função f(x) definida de duas formas diferentes dependendo do valor de x . A matéria aqui é Continuidade de Funções, e pra resolver, a gente vai precisar entender o que é limite e como calcular limites, além de verificar os valores da função nos pontos em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade em x = -1 . Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite de f(x) quando x se aproxima de -1 precisa ser igual ao valor de f(-1) .
Passo 3
Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de -1. Para x neq -1 , a função é x^2 + 2x + 1x + 1 . Podemos simplificar essa expressão.
Passo 4
Note que x^2 + 2x + 1 pode ser fatorado como (x + 1)^2 . Então, temos:
x^2 + 2x + 1x + 1 = (x + 1)^2x + 1 = x + 1 para x neq -1
Então, o limite quando x se aproxima de -1 é:
limx to -1 (x + 1) = -1 + 1 = 0
Passo 5
Agora, verificamos o valor de f(-1) , que é dado como 2. Como o limite (0) não é igual ao valor da função em x = -1 (2), a função não é contínua nesse ponto.
Passo 6
Vamos verificar agora a continuidade em x = 0 . Para isso, calculamos o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 e comparamos com f(0) .
Passo 7
Para x = 0 , que é diferente de -1, usamos a expressão simplificada f(x) = x + 1 . Então:
limx to 0 (x + 1) = 0 + 1 = 1
E também, calculando f(0) :
f(0) = 0 + 1 = 1
Resposta
A função f(x) não é contínua em x = -1 porque o limite é 0 e f(-1) = 2 . Em x = 0 , a função é contínua, já que o limite e o valor da função são iguais a 1.