Para uma função contínua f:[a, b] R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por V=integrala^b pi f(x)^2 d x. Calcule esse volume no caso das funções indicadas abaixo.
f(x)=raizr^2-x^2, para x in[-r, r], onde r>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raizr^2-x^2, xin[-r,r],
e quer o volume do sólido obtido ao girar o gráfico de f em torno do eixo Ox. Vamos usar a fórmula
V=integrala^bpil(f(x)r)^2,dx
com a=-r e b=r.

Passo 2

Substituindo f(x) na fórmula do volume, temos
V =integral-r^rpil(raizr^2-x^2r)^2,dx =piintegral-r^rl(r^2-x^2r),dx

Passo 3

Para calcular
integral-r^r(r^2-x^2),dx, note que r^2 e x^2 são funções pares. Logo
integral-r^rr^2,dx =r^2cdot(2r) =2r^3, integral-r^rx^2,dx =2integral0^rx^2,dx =2cdotr^33 =2r^33
Subtraindo,
integral-r^r(r^2-x^2),dx =2r^3-2r^33 =4r^33

Passo 4

Multiplicando por pi, o volume fica
V =picdot4r^33 =43pi r^3

Resposta

V=43pi r^3

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