Sabendo que , onde são constantes reais, é uma família a dois parâmetros de soluções da equação , encontre uma solução do problema de valor inicial
em que x0, y0 e y1 são dados abaixo. Em seguida determine o maior intervalo de definição desta solução e esboce a curva integral correspondente a ela no plano x y. x0=0, y0=1, y1=2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo y'' - y = 0. A solução geral dessa equação é y(x) = C1 e^x + C2 e^-x, onde C1 e C2 são constantes que a gente precisa encontrar usando as condições iniciais dadas. Vamos precisar usar essas condições para descobrir os valores de C1 e C2 e, assim, encontrar a solução específica para o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição y(0) = 1. Substituindo x = 0 na solução geral:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1
Então, nossa primeira equação é:
C1 + C2 = 1 (1)
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda condição: y'(0) = 2. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x
Substituindo x = 0:
y'(0) = C1 e^0 - C2 e^0 = C1 - C2 = 2
Então, nossa segunda equação é:
C1 - C2 = 2 (2)
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
C1 + C2 = 1 (1) C1 - C2 = 2 (2)
Somando as duas equações:
(C1 + C2) + (C1 - C2) = 1 + 2 2C1 = 3 C1 = 32
Substituindo C1 na equação (1):
32 + C2 = 1 C2 = 1 - 32 C2 = -12
Passo 5
Agora que temos os valores das constantes, substituímos de volta na solução geral:
y(x) = 32 e^x - 12 e^-x
Passo 6
Para determinar o maior intervalo de definição dessa solução, observamos que as funções exponenciais e^x e e^-x estão definidas para todos os números reais. Então, o intervalo de definição é:
(-infty, infty)
Passo 7
Por fim, para esboçar a curva integral no plano xy, a gente olha para a função y(x) = 32 e^x - 12 e^-x. Essa curva cresce exponencialmente conforme x aumenta e também decresce conforme x diminui, passando pelo ponto inicial (0, 1) com uma inclinação inicial de 2.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é y(x) = 32 e^x - 12 e^-x, definida para todos os reais x in (-infty, infty).