A função de corrente é g(x, y)= . Esta é a parte imaginária de (x+i y)^3. Finalmente verifique que as funções potencial f e de corrente g satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache a função de corrente g(x,y), que é a parte imaginária de (x+i y)^3, sabendo que a parte real f(x,y) é a função potencial. Depois, precisamos verificar que f e g satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. O conteúdo envolve expansão de potências de binômio complexo e checagem de equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Vamos expandir o binômio complexo (x+i y)^3 aplicando a fórmula de binômio de Newton:
(x+i y)^3 = x^3 + 3x^2(i y) + 3x(i y)^2 + (i y)^3
Agora simplificamos cada termo lembrando que i^2=-1 e i^3=-i:
(x+i y)^3 = x^3 + 3i x^2 y - 3x y^2 - i y^3

Passo 3

Da expansão acima vemos que a parte real é f(x,y)=x^3 - 3xy^2 e a parte imaginária é g(x,y)=3x^2y - y^3, que responde à primeira parte.

Passo 4

Para verificar as equações de Cauchy–Riemann, calculamos as derivadas parciais:
fx = partialpartial x(x^3-3xy^2)=3x^2-3y^2, fy = partialpartial y(x^3-3xy^2)=-6xy,
gx = partialpartial x(3x^2y - y^3)=6xy, gy = partialpartial y(3x^2y - y^3)=3x^2-3y^2

Passo 5

Comparando, vemos que fx=3x^2-3y^2=gy e fy=-6xy=-gx. Logo, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.

Resposta

g(x,y)=3x^2y - y^3. As derivadas parciais satisfazem f_x=g_y e f_y=-g_x, logo as equações de Cauchy–Riemann são atendidas.

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