A função de corrente é
. Esta é a parte imaginária de
. Finalmente verifique que as funções potencial
e de corrente
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache a função de corrente
, que é a parte imaginária de
, sabendo que a parte real
é a função potencial. Depois, precisamos verificar que
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. O conteúdo envolve expansão de potências de binômio complexo e checagem de equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Vamos expandir o binômio complexo
aplicando a fórmula de binômio de Newton:
Agora simplificamos cada termo lembrando que
e
:
Passo 3
Da expansão acima vemos que a parte real é
e a parte imaginária é
, que responde à primeira parte.
Passo 4
Para verificar as equações de Cauchy–Riemann, calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Comparando, vemos que
e
. Logo, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.
Resposta
g(x,y)=3x^2y - y^3. As derivadas parciais satisfazem f_x=g_y e f_y=-g_x, logo as equações de Cauchy–Riemann são atendidas.