;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar os seguintes ingredientes:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
- Combinar as duas para obter a solução geral.
- Ajustar as constantes pela condição inicial.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
usamos o ansatz
, gerando a equação característica
logo a raiz é
dupla. A solução geral homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular do tipo
Calculamos
e substituímos na EDO:
Agrupando os coeficientes de
e
obtemos
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 4
A solução geral é
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
.
Passo 5
Em
:
Calculamos
:
Em
: