y^prime prime-2 y^prime+y=cos t-sen t;
y(0)=1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = cos t - sen t, y(0)=1,;y'(0)=3
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar os seguintes ingredientes:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
  3. Combinar as duas para obter a solução geral.
  4. Ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - 2y' + y = 0
usamos o ansatz y=e^rt, gerando a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r-1)^2 = 0,
logo a raiz é r=1 dupla. A solução geral homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^t

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
yp(t) = acos t + bsin t
Calculamos
yp' = -asin t + bcos t, yp'' = -acos t - bsin t,
e substituímos na EDO:
yp'' - 2yp' + yp = l(-acos t - bsin tr) -2l(-asin t + bcos tr) + l(acos t + bsin tr)
Agrupando os coeficientes de cos t e sin t obtemos
-2bcos t + 2asin t = cos t - sen t
Igualando coeficientes:
-2b = 1 Rightarrow b=-tfrac12, 2a = -1 Rightarrow a=-tfrac12
Logo
yp(t) = -tfrac12cos t - tfrac12sin t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = l(C1 + C2,tr)e^t -tfrac12l(cos t + sin tr)
Agora usamos as condições iniciais para achar C1 e C2.

Passo 5

Em t=0:
y(0) = C1 - tfrac12(cos0+sin0) = C1 - tfrac12 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac32
Calculamos y'(t):
y'(t) = l(C1 + C2 + C2,tr)e^t + tfrac12sin t - tfrac12cos t
Em t=0:
y'(0) = (C1 + C2) - tfrac12 = 3 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac72 Rightarrow C2 = 2

Resposta

boxed y(t) = l(tfrac32 + 2tr)e^t -tfrac12l(cos t + sin tr)

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