;
Passo 1
O enunciado dá a EDO
com condições iniciais
e
.
É uma equação linear de segunda ordem com coeficiente variável em ; vamos usar solução em série de potências centrada em
.
É uma equação linear de segunda ordem com coeficiente variável em
Passo 2
Proponha
Substituindo na EDO obtém-se
Reindexando o primeiro somatório com
e combinando termos em
dá a recorrência
ou seja
Passo 3
Das condições iniciais temos
Usando a recorrência:
para ,
para
para
,
e daí em diante cada
depende de
, mas como
todas as coeficientes pares são zero e como
todas as ímpares além de
também são nulas. Logo só
é não nulo.
Passo 4
Concluímos que na série só há termo linear:
Opcionalmente, verificamos na equação que para
vale
confirmando que é solução.