y^prime prime+t y^prime-y=0;
y(0)=0, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + t,y' - y = 0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3.
É uma equação linear de segunda ordem com coeficiente variável em t; vamos usar solução em série de potências centrada em t=0.

Passo 2

Proponha
y(t) = sumn=0^infty an ,t^n, y'(t) = sumn=1^infty n,an ,t^n-1, y''(t)=sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2
Substituindo na EDO obtém-se
sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2 + tsumn=1^infty n an t^n-1 - sumn=0^infty an t^n = 0
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e combinando termos em t^m dá a recorrência
(m+2)(m+1),am+2 + (m-1),am = 0, m>=0,
ou seja
am+2 = -m-1(m+2)(m+1),am

Passo 3

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=3
Usando a recorrência:
para m=0,
a2 = -0-12cdot1,a0 = 12cdot0 = 0;
para m=1,
a3 = -1-13cdot2,a1 = 0;
e daí em diante cada am+2 depende de am, mas como a0=0 todas as coeficientes pares são zero e como a3=0 todas as ímpares além de a1 também são nulas. Logo só a1 é não nulo.

Passo 4

Concluímos que na série só há termo linear:
y(t)=a1,t = 3,t
Opcionalmente, verificamos na equação que para y=3t vale
y''=0, y'=3 Longrightarrow 0 + tcdot3 - 3t = 0,
confirmando que é solução.

Resposta

y(t) = 3,t

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