A função cosh (leia-se cosseno hiperbólico) é definida por
cosh (x)=e^x+e^-x2
Seja g(x)=cosh (x)+1cosh (x).
Determine, caso existam, os pontos de máximos e de mínimos locais de g.

Passo 1

O enunciado define a função gcolonRtoR dada por
g(x)=cosh(x)+1cosh(x),
onde cosh(x)=tfrace^x+e^-x2. Para encontrar pontos de máximos e mínimos locais, vamos calcular a derivada de g, achar os pontos críticos e analisar seu tipo pelo sinal de g'.

Passo 2

Calculamos g'(x) usando ddxcosh(x)=sinh(x) e a regra da cadeia em cosh(x)^-1:
g'(x) =sinh(x) -sinh(x),cosh(x)^-2

Passo 3

Fatoramos e simplificamos:
g'(x) =sinh(x)l(1-tfrac1cosh^2(x)r) =sinh(x),cosh^2(x)-1cosh^2(x) =sinh(x),sinh^2(x)cosh^2(x) =sinh^3(x)cosh^2(x)

Passo 4

Pontos críticos vêm de g'(x)=0. Como cosh^2(x)>0 sempre, basta
sinh^3(x)=0 iff sinh(x)=0 iff x=0

Passo 5

Para x<0 temos sinh(x)<0 e daí g'(x)<0 (função decresce);
para x>0 temos sinh(x)>0 e daí g'(x)>0 (função cresce).
Logo em x=0 há troca de decrescimento para crescimento, caracterizando mínimo local. Não há máximos locais.

Resposta

x=0 é o único ponto de mínimo local (com g(0)=2). Não existem pontos de máximo local.

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