Questão 3 (1,5) Seja f(x)=1x^2.
Esboce o gráfico de f, considerando valores de X positivos e negativos.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=1x^2,
considerando x positivos e negativos.
Conteúdo: estudo de domínio, simetria, assíntotas e comportamento de funções racionais.

Passo 2

Determinamos o domínio e a imagem de f:
– Domínio: todos os reais exceto x=0, pois ali o denominador se anula.
– Imagem: f(x)>0 para todo xneq0, logo (0,+infty).
Assíntotas:
– Vertical em x=0.
– Horizontal em y=0.

Passo 3

Verificamos simetria:
f(-x)=1(-x)^2=1x^2=f(x),
logo f é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Analisamos os limites que informam o formato dos ramos:
limxto0^pmf(x)=+infty, limxtopminftyf(x)=0^+
Em xto0 o gráfico dispara para +infty; em xtopminfty aproxima-se de y=0.

Passo 5

Calculamos alguns pontos-chaves para orientar o esboço:
f(1)=1, f(2)=tfrac14, fl(tfrac12r)=4,
e, por simetria, esses valores se repetem para x<0 (ex.: f(-1)=1, f(-2)=tfrac14, f(-tfrac12)=4).

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Dois ramos, um em e outro em .
– Cada ramo decresce de (em ) até (quando ).
– Passa por , , e espelha para .
Exemplo de traçado aproximado (ASCII):
y
\uparrow           \(\bullet\)
|          /
|         /
|   \(\bullet\)    /
|    \  /
|     \/
|------|------\to x
|     /\
|    /  \
|   \(\bullet\)    \
|         \
|          \(\bullet\)
\downarrow
Onde os “ ” correspondem a (mais alto) e (mais baixo), e a curva não toca as linhas nem .

Resposta

O gráfico de f(x)=tfrac1x^2 consiste em dois ramos simétricos (função par), com assíntota vertical em x=0 e horizontal em y=0, decrescendo de +infty para 0 em cada ramo.

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