Questão 3 (1,5) Seja
.
Esboce o gráfico de
, considerando valores de
positivos e negativos.
Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
considerando
positivos e negativos.
Conteúdo: estudo de domínio, simetria, assíntotas e comportamento de funções racionais.
Conteúdo: estudo de domínio, simetria, assíntotas e comportamento de funções racionais.
Passo 2
Determinamos o domínio e a imagem de
:
– Domínio: todos os reais exceto , pois ali o denominador se anula.
– Imagem: para todo
, logo
.
Assíntotas:
– Vertical em .
– Horizontal em .
– Domínio: todos os reais exceto
– Imagem:
Assíntotas:
– Vertical em
– Horizontal em
Passo 3
Verificamos simetria:
logo
é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Analisamos os limites que informam o formato dos ramos:
Em
o gráfico dispara para
; em
aproxima-se de
.
Passo 5
Calculamos alguns pontos-chaves para orientar o esboço:
e, por simetria, esses valores se repetem para
(ex.:
,
,
).
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Dois ramos, um em e outro em
.
– Cada ramo decresce de (em
) até
(quando
).
– Passa por ,
,
e espelha para
.
– Dois ramos, um em
– Cada ramo decresce de
– Passa por
Exemplo de traçado aproximado (ASCII):
y
\uparrow \(\bullet\)
| /
| /
| \(\bullet\) /
| \ /
| \/
|------|------\to x
| /\
| / \
| \(\bullet\) \
| \
| \(\bullet\)
\downarrow
Onde os “
” correspondem a
(mais alto) e
(mais baixo), e a curva não toca as linhas
nem
.
Resposta
O gráfico de
consiste em dois ramos simétricos (função par), com assíntota vertical em
e horizontal em
, decrescendo de
para
em cada ramo.