Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
O conteúdo é verificar exatidão de equações diferenciais da forma
e, se exata, resolver pelo método do potencial.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão, identificamos
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Para achar
, usamos
que deve igualar
. Logo
Passo 6
Assim, a função potencial geral é
A solução implícita da equação diferencial exata é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e a solução geral implícita é