Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(t / y) d y+(1+ln y) d t=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
ty,dy + l(1 + ln yr),dt = 0
O conteúdo é verificar exatidão de equações diferenciais da forma M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0 e, se exata, resolver pelo método do potencial.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão, identificamos
M(t,y) = 1 + ln y, N(t,y) = ty
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial t.

Passo 3

Calculando:
partial Mpartial y = 1y, partial Npartial t = 1y
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial psi(t,y) tal que
partial psipartial t = M(t,y) e partial psipartial y = N(t,y)
Integramos M em relação a t, tratando y como constante:
psi(t,y) = integral(1 + ln y),dt = t + tln y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
partial psipartial y = partialpartial yl(t + tln y + h(y)r) = tcdot1y + h'(y) = ty + h'(y)
que deve igualar N(t,y)=t/y. Logo
h'(y)=0 Rightarrow h(y)=C1

Passo 6

Assim, a função potencial geral é
psi(t,y)=t + tln y + C1
A solução implícita da equação diferencial exata é
psi(t,y)=C Longrightarrow tl(1 + ln yr)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e a solução geral implícita é
tl(1 + ln yr) = C

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