Seja f: R R uma função contínua e considere a função F: R R a função dada por
F(x)=rll f(x) sen^2(x)x, & se & x neq 0 0, & se & x=0
Calcule F^prime(0).
( R: f(0) )

Passo 1

O enunciado define uma função contínua
Pede-se e o limite clássico .

Passo 2

Pela definição,
F'(0) =limxto0F(x)-F(0)x =limxto0F(x)x,
já que F(0)=0.

Passo 3

Para xneq0 temos
F(x)x =1xcdotf(x),sen^2(x)x =f(x),sen^2(x)x^2
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F'(0) =limxto0f(x),sen^2(x)x^2

Passo 4

Como f é contínua em 0, limxto0f(x)=f(0). Além disso,
limxto0sen^2(x)x^2 =l(limxto0sen(x)xr)^2 =1^2=1

Passo 5

Usando o produto de limites,
F'(0) =limxto0f(x);cdotlimxto0sen^2(x)x^2 =f(0)cdot1 =f(0)

Resposta

F'(0)=f(0)

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