A função
é dada como uma função implícita. Encontre
i)
;
ii) a equação do plano tangente,
iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
(a)
;
(b)
i)
ii) a equação do plano tangente,
iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, temos uma função definida de forma implícita, z = f(x,y), e queremos para duas superfícies:
(a) x² + y² − z² = 12 no ponto (3,2,1)
(b) 1/x + 1/y + 1/z − 1 = 0 num ponto genérico (x₀,y₀,z₀)
O que pedem:
(a) x² + y² − z² = 12 no ponto (3,2,1)
(b) 1/x + 1/y + 1/z − 1 = 0 num ponto genérico (x₀,y₀,z₀)
O que pedem:
- ∂z/∂x e ∂z/∂y (derivação implícita)
- equação do plano tangente
- equação da reta ortogonal (normal)
Vamos usar:
- Derivação implícita em várias variáveis
- Gradiente ∇F para achar normal
- Fórmulas padrão de plano tangente e reta normal
Passo 2
Caso (a) – ∂z/∂x e ∂z/∂y
Defino F(x,y,z)=x²+y²−z²−12=0.
Para derivar implícito:
∂F/∂x + (∂F/∂z)·z_x = 0
∂F/∂y + (∂F/∂z)·z_y = 0
Defino F(x,y,z)=x²+y²−z²−12=0.
Para derivar implícito:
∂F/∂x + (∂F/∂z)·z_x = 0
∂F/∂y + (∂F/∂z)·z_y = 0
Calculemos:
∂F/∂x = 2x
∂F/∂y = 2y
∂F/∂z = −2z
∂F/∂x = 2x
∂F/∂y = 2y
∂F/∂z = −2z
Então
2x −2z·z_x =0 ⇒ z_x = x/z
2y −2z·z_y =0 ⇒ z_y = y/z
2x −2z·z_x =0 ⇒ z_x = x/z
2y −2z·z_y =0 ⇒ z_y = y/z
No ponto (3,2,1):
z_x = 3/1 = 3
z_y = 2/1 = 2
z_x = 3/1 = 3
z_y = 2/1 = 2
Passo 3
Caso (a) – plano tangente
Fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x₀,y₀,z₀):
z − z₀ = z_x·(x − x₀) + z_y·(y − y₀)
Fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x₀,y₀,z₀):
z − z₀ = z_x·(x − x₀) + z_y·(y − y₀)
Substituindo (x₀,y₀,z₀)=(3,2,1), z_x=3, z_y=2:
z −1 = 3(x−3) + 2(y−2)
z −1 = 3x−9 + 2y−4
z = 3x + 2y −12
z −1 = 3(x−3) + 2(y−2)
z −1 = 3x−9 + 2y−4
z = 3x + 2y −12
Passo 4
Caso (a) – reta ortogonal
A normal à superfície F=0 é ∇F = (2x,2y,−2z). Em (3,2,1):
∇F(3,2,1) = (6,4,−2)
A normal à superfície F=0 é ∇F = (2x,2y,−2z). Em (3,2,1):
∇F(3,2,1) = (6,4,−2)
Equação paramétrica da reta normal:
x = 3 + 6t
y = 2 + 4t
z = 1 − 2t
x = 3 + 6t
y = 2 + 4t
z = 1 − 2t
Passo 5
Caso (b) – ∂z/∂x e ∂z/∂y genéricos
Defino G(x,y,z)=1/x + 1/y + 1/z −1 =0.
∂G/∂x + (∂G/∂z)·z_x = 0 ⇒ −1/x² − (1/z²)·z_x =0 ⇒ z_x = −z²/x²
∂G/∂y + (∂G/∂z)·z_y = 0 ⇒ −1/y² − (1/z²)·z_y =0 ⇒ z_y = −z²/y²
Defino G(x,y,z)=1/x + 1/y + 1/z −1 =0.
∂G/∂x + (∂G/∂z)·z_x = 0 ⇒ −1/x² − (1/z²)·z_x =0 ⇒ z_x = −z²/x²
∂G/∂y + (∂G/∂z)·z_y = 0 ⇒ −1/y² − (1/z²)·z_y =0 ⇒ z_y = −z²/y²
Em (x₀,y₀,z₀):
z_x₀ = −(z₀²)/(x₀²), z_y₀ = −(z₀²)/(y₀²)
z_x₀ = −(z₀²)/(x₀²), z_y₀ = −(z₀²)/(y₀²)
Passo 6
Caso (b) – plano tangente genérico
z − z₀ = z_x₀·(x − x₀) + z_y₀·(y − y₀)
z − z₀ = z_x₀·(x − x₀) + z_y₀·(y − y₀)
Substituindo z_x₀ e z_y₀:
z − z₀ = −(z₀²)/(x₀²)·(x−x₀) − (z₀²)/(y₀²)·(y−y₀)
z − z₀ = −(z₀²)/(x₀²)·(x−x₀) − (z₀²)/(y₀²)·(y−y₀)
Passo 7
Caso (b) – reta ortogonal genérica
∇G = (−1/x², −1/y², −1/z²). Em (x₀,y₀,z₀):
v = (−1/x₀², −1/y₀², −1/z₀²)
∇G = (−1/x², −1/y², −1/z²). Em (x₀,y₀,z₀):
v = (−1/x₀², −1/y₀², −1/z₀²)
Reta normal:
x = x₀ − t/x₀²
y = y₀ − t/y₀²
z = z₀ − t/z₀²
x = x₀ − t/x₀²
y = y₀ − t/y₀²
z = z₀ − t/z₀²
Resposta
(i) Derivadas parciais
• (a) z_x = x/z, z_y = y/z ⇒ em (3,2,1): z_x=3, z_y=2
• (b) z_x = −z²/x², z_y = −z²/y² (em (x₀,y₀,z₀))
• (a) z_x = x/z, z_y = y/z ⇒ em (3,2,1): z_x=3, z_y=2
• (b) z_x = −z²/x², z_y = −z²/y² (em (x₀,y₀,z₀))
(ii) Plano tangente
• (a) z = 3x + 2y −12
• (b) z − z₀ = −(z₀²)/(x₀²)(x−x₀) − (z₀²)/(y₀²)(y−y₀)
• (a) z = 3x + 2y −12
• (b) z − z₀ = −(z₀²)/(x₀²)(x−x₀) − (z₀²)/(y₀²)(y−y₀)
(iii) Reta ortogonal
• (a) (x,y,z) = (3,2,1) + t(6,4,−2)
• (b) (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(−1/x₀², −1/y₀², −1/z₀²)
• (a) (x,y,z) = (3,2,1) + t(6,4,−2)
• (b) (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(−1/x₀², −1/y₀², −1/z₀²)