Resolva: |2 x-3| <=|2-x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto |2x-3|<=|2-x|. O conteúdo aqui é desigualdade envolvendo módulo, e vamos usar o fato de que para ambos os lados não-negativos podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido.

Passo 2

Como |2x-3|>=0 e |2-x|>=0, a desigualdade
|2x-3|<=|2-x|
é equivalente a
(2x-3)^2<=(2-x)^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados:
(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9,
(2-x)^2 = x^2 - 4x + 4
Logo a desigualdade vira
4x^2 - 12x + 9 <= x^2 - 4x + 4

Passo 4

Reagrupando termos:
4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 4x - 4 <= 0
3x^2 - 8x + 5 <= 0
O discriminante é
De<a = (-8)^2 - 4cdot3cdot5 = 64 - 60 = 4,
portanto as raízes são
x = 8 pm 26 implies x1 = 1, x2 = tfrac53

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola 3x^2 - 8x + 5 abre para cima e fica abaixo de zero entre as raízes. Logo a solução da inequação é
1 <= x <= tfrac53

Resposta

,xinRmid 1 <= x <= tfrac53

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