Uma função f(x) definida sobre o intervalo [-1,1] tem primitiva F(x). Assuma que F(-1)=8 e F(1)=7. Qual das afirmaçães é verdadeira? Justifique sua resposta.
f(x) pode ser uma função impar.

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função definida em [-1,1] e que F é uma primitiva de f, com
F(-1)=8 e F(1)=7
Queremos saber se é possível que f seja uma função ímpar.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o valor da integral de f de -1 a 1 é
integral-1^1 f(x),dx = F(1)-F(-1) = 7 - 8 = -1

Passo 3

Sabemos que se f fosse ímpar, ou seja, f(-x)=-f(x) para todo x, então
integral-1^1 f(x),dx = 0,
pois a área positiva de x>0 se anula com a área negativa de x<0.

Passo 4

Obtivemos
integral-1^1 f(x),dx = -1 neq 0,
logo não pode ser verdade que f seja ímpar, pois isso exigiria que a integral fosse zero.

Resposta

A afirmação “ f(x) pode ser uma função ímpar” é falsa.

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