A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é
f(x, y)=ll C(x+y) & se 0 <= x <= 3,0 <= y <= 2 0 & caso contrário á
Determine P(X <= 2, Y >= 1).

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta
f(x,y)= C,(x+y),&0<= x<=3,;0<= y<=2, 0,&caso contrário, á
e pede a probabilidade ,P(X<=2,,Y>=1).
Conteúdo: variáveis contínuas, densidade conjunta, integral dupla. Vamos primeiro determinar a constante de normalização C.

Passo 2

Para achar C, imponho que a integral de f sobre todo o domínio vale 1:
integralx=0^3!integraly=0^2 C,(x+y),dy,dx = 1
Calculo a integral interna em y:
integral0^2(x+y),dy = l[x,y + tfracy^22r]0^2 = 2x + tfrac42 =2x +2
Agora a integral em x:
integral0^3(2x+2),dx = l[x^2 +2xr]0^3 = 9 +6 =15
Logo
Ccdot 15 =1 Longrightarrow C = tfrac115

Passo 3

Agora computamos
P(X<=2,,Y>=1) = integralx=0^2!integraly=1^2 115(x+y),dy,dx
Integral interna em y:
integral1^2(x+y),dy = l[x,y + tfracy^22r]1^2 = x(2-1) + l(tfrac42-tfrac12r) = x + tfrac32
Agora em x:
integral0^2l(x + tfrac32r),dx = l[tfracx^22 + tfrac32xr]0^2 = l(2 +3r) =5
Multiplicando pelo fator tfrac115, obtemos
P(X<=2,,Y>=1) = 115cdot 5 = 13

Resposta

13

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