A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é
f(x, y)=ll C(x+y) & se 0 <= x <= 3,0 <= y <= 2 0 & caso contrário á
Determine o valor da constante C.

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta
f(x,y)= C,(x+y),&0<= x<=3,;0<= y<=2, 0,&caso contrário, á
e pede o valor de C. Como toda função densidade deve satisfazer
integral duplaR^2f(x,y),dx,dy=1,
vamos usar isso para determinar C.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla sobre o retângulo 0<= x<=3, 0<= y<=2:
integralx=0^3integraly=0^2C,(x+y),dy,dx = Cintegral0^3integral0^2(x+y),dy,dx =1

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^2(x+y),dy =integral0^2x,dy+integral0^2y,dy =2x+2^22 =2x+2

Passo 4

Agora a integral em x:
integral0^3(2x+2),dx =l[x^2+2xr]0^3 =9+6 =15
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Ccdot15=1 Longrightarrow C=115

Resposta

C=dfrac115

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