A função densidade conjunta das variáveis X e Y é dada por
f(x, y)=e^-yy, 0
Determine E[X^2 mid Y=y].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função de densidade conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $:
X
Nosso objetivo é encontrar a esperança condicional $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, especificamente no tópico de esperança condicional e variáveis aleatórias contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a esperança condicional usando a densidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esperança condicional $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $ é a média de $ X^{2} $ dado que $ Y = y $. Para calcular isso, precisamos encontrar a densidade condicional de $ X $ dado $ Y = y $, que é denotada por $ f_{X|Y}(x|y) $.
A densidade condicional é dada por:
E[X^2 mid Y = y]
onde $ f_{Y}(y) $ é a densidade marginal de $ Y $.

Passo 3

Vamos encontrar a densidade marginal $ f_{Y}(y) $. Para isso, integramos a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ nos limites de $ x $:
fY(y)
Como $ \frac{e^{-y}}{y} $ é constante em relação a $ x $, a integral fica:
f(x, y)

Passo 4

Agora que temos $ f_{Y}(y) = e^{-y} $, podemos encontrar a densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $:
fY(y) = e^-y
Isso significa que, dado $ Y = y $, $ X $ está uniformemente distribuído no intervalo $ (0, y) $.

Passo 5

Sabendo que $ X $ é uniforme em $ (0, y) $, podemos encontrar $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $ usando a definição da esperança para variáveis contínuas:
X
Isso simplifica para:
(0, y)

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^y x^2 , dx = [ x^33 ]0^y = y^33 - 0 = y^33
Substituindo de volta na expressão da esperança:
E[X^2 mid Y = y] = 1y cdot y^33 = y^23

Resposta

A esperança condicional é $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] = \dfrac{y^{2}}{3} $.

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