A função densidade conjunta das variáveis
e
é dada por
Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função de densidade conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $:
Nosso objetivo é encontrar a esperança condicional $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, especificamente no tópico de esperança condicional e variáveis aleatórias contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a esperança condicional usando a densidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esperança condicional $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $ é a média de $ X^{2} $ dado que $ Y = y $. Para calcular isso, precisamos encontrar a densidade condicional de $ X $ dado $ Y = y $, que é denotada por $ f_{X|Y}(x|y) $.
A densidade condicional é dada por:
onde $ f_{Y}(y) $ é a densidade marginal de $ Y $.
Passo 3
Vamos encontrar a densidade marginal $ f_{Y}(y) $. Para isso, integramos a densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ nos limites de $ x $:
Como $ \frac{e^{-y}}{y} $ é constante em relação a $ x $, a integral fica:
Passo 4
Agora que temos $ f_{Y}(y) = e^{-y} $, podemos encontrar a densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $:
Isso significa que, dado $ Y = y $, $ X $ está uniformemente distribuído no intervalo $ (0, y) $.
Passo 5
Sabendo que $ X $ é uniforme em $ (0, y) $, podemos encontrar $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] $ usando a definição da esperança para variáveis contínuas:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão da esperança:
Resposta
A esperança condicional é $ \mathbf{E}[X^{2} \mid Y = y] = \dfrac{y^{2}}{3} $.