Um prisioneiro está em uma cela com 3 portas. A primeira porta leva a um túnel que faz com que ele volte à sua cela após dois dias de viagem. A segunda leva a um túnel que faz com que ele volte à sua cela após 4 dias de viagem. A terceira porta o leva à liberdade após um dia de viagem. Se se supõe que o prisioneiro sempre selecione as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0,5, 0,3 e 0,2, qual é o número esperado de dias até que ele alcance a liberdade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um prisioneiro preso com 3 portas. Cada porta tem uma probabilidade diferente de ser escolhida e leva a diferentes resultados:
- Porta 1: 50% de chance de ser escolhida e retorna à cela após 2 dias.
- Porta 2: 30% de chance de ser escolhida e retorna à cela após 4 dias.
- Porta 3: 20% de chance de ser escolhida e leva à liberdade em 1 dia.
Queremos descobrir o número esperado de dias que o prisioneiro vai levar para alcançar a liberdade. Vamos usar o conceito de esperança matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o número esperado de dias. Basicamente, é uma média ponderada dos dias que o prisioneiro pode gastar, considerando as probabilidades de cada porta.
Vamos chamar a esperança de dias até a liberdade de $ E $.
Passo 3
Vamos analisar cada porta:
-
Porta 1:
- Probabilidade: 0,5
- Dias gastos: 2 dias para voltar à cela + $ E $ dias restantes para tentar novamente.
-
Porta 2:
- Probabilidade: 0,3
- Dias gastos: 4 dias para voltar à cela + $ E $ dias restantes para tentar novamente.
-
Porta 3:
- Probabilidade: 0,2
- Dias gastos: 1 dia para ganhar a liberdade.
Passo 4
Com isso, podemos montar a equação da esperança $ E $ considerando todas as possibilidades:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação passo a passo:
- Distribuir as probabilidades:
- Calcular os termos constantes:
- Somar os termos constantes:
Passo 6
Vamos isolar $ E $ na equação:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ E $:
Resposta
O número esperado de dias até que o prisioneiro alcance a liberdade é 12 dias.