Um prisioneiro está em uma cela com 3 portas. A primeira porta leva a um túnel que faz com que ele volte à sua cela após dois dias de viagem. A segunda leva a um túnel que faz com que ele volte à sua cela após 4 dias de viagem. A terceira porta o leva à liberdade após um dia de viagem. Se se supõe que o prisioneiro sempre selecione as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0,5, 0,3 e 0,2, qual é o número esperado de dias até que ele alcance a liberdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um prisioneiro preso com 3 portas. Cada porta tem uma probabilidade diferente de ser escolhida e leva a diferentes resultados:
  • Porta 1: 50% de chance de ser escolhida e retorna à cela após 2 dias.
  • Porta 2: 30% de chance de ser escolhida e retorna à cela após 4 dias.
  • Porta 3: 20% de chance de ser escolhida e leva à liberdade em 1 dia.
Queremos descobrir o número esperado de dias que o prisioneiro vai levar para alcançar a liberdade. Vamos usar o conceito de esperança matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número esperado de dias. Basicamente, é uma média ponderada dos dias que o prisioneiro pode gastar, considerando as probabilidades de cada porta.
Vamos chamar a esperança de dias até a liberdade de $ E $.

Passo 3

Vamos analisar cada porta:
  1. Porta 1:
    • Probabilidade: 0,5
    • Dias gastos: 2 dias para voltar à cela + $ E $ dias restantes para tentar novamente.
  2. Porta 2:
    • Probabilidade: 0,3
    • Dias gastos: 4 dias para voltar à cela + $ E $ dias restantes para tentar novamente.
  3. Porta 3:
    • Probabilidade: 0,2
    • Dias gastos: 1 dia para ganhar a liberdade.

Passo 4

Com isso, podemos montar a equação da esperança $ E $ considerando todas as possibilidades:
E

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação passo a passo:
  1. Distribuir as probabilidades:
E = 0,5 times 2 + 0,5 times E + 0,3 times 4 + 0,3 times E + 0,2 times 1
  1. Calcular os termos constantes:
E = 1 + 0,5E + 1,2 + 0,3E + 0,2
  1. Somar os termos constantes:
E = (1 + 1,2 + 0,2) + (0,5E + 0,3E)
E = 2,4 + 0,8E

Passo 6

Vamos isolar $ E $ na equação:
E
E - 0,8E = 2,4

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ E $:
E

Resposta

O número esperado de dias até que o prisioneiro alcance a liberdade é 12 dias.

Exercícios relacionados