O número de pessoas que entra em um elevador no andar térreo é uma variável de Poisson com média 10. Se existem N andares acima do térreo e se cada pessoa tem a mesma probabilidade de descer em cada um dos andares, independentemente de onde descem as demais, compute o número esperado de paradas que o elevador fará antes de descarregar todos os seus passageiros.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um elevador no térreo onde entram pessoas seguindo uma distribuição de Poisson com média 10. Existem $ N $ andares acima do térreo e cada pessoa tem a mesma chance de descer em qualquer um desses andares, de forma independente. Nosso objetivo é calcular o número esperado de paradas que o elevador fará para deixar todas as pessoas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma variável de Poisson. Ela modela a quantidade de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com uma taxa média $ \lambda $. No nosso caso, $ \lambda = 10 $ é a média de pessoas que entram no elevador.

Passo 3

Cada pessoa que entra no elevador escolhe, de forma independente, um dos $ N $ andares para descer. Como todas as escolhas são igualmente prováveis, a probabilidade de uma pessoa escolher qualquer andar específico é $ \frac{1}{N} $.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de pelo menos uma pessoa escolher um determinado andar para descer. Para isso, podemos usar a propriedade da distribuição de Poisson: a probabilidade de que nenhuma pessoa escolha um andar específico é $ e^{-\lambda’} $, onde $ \lambda’ = \frac{\lambda}{N} = \frac{10}{N} $.

Passo 5

Então, a probabilidade de pelo menos uma pessoa escolher um andar específico é:
P(pelo menos uma pessoa no andar) = 1 - e^-10N

Passo 6

Como existem $ N $ andares e cada um tem a mesma probabilidade de receber pelo menos uma pessoa, o número esperado de paradas é a soma das probabilidades de parar em cada andar. Ou seja:
N ú

Resposta

O número esperado de paradas que o elevador fará é:
N times (1 - e^-10N)

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